2022-Cnm-Mp2-Corrigé

Exercice — Construction d’une base orthonormée d’un sous-espace vectoriel de {\mathbb R^n}

On suppose {n\ge2}. On munit {\mathbb R^n} de son produit scalaire canonique {(\cdot\mid\cdot)} et l’on note {(e_1,\ldots,e_n)} sa base canonique. Pour {1\le k\le n-1}, on pose {v_k=e_k-e_{k+1}}.

On considère {H=\{(x_1,\ldots,x_n):x_1+\cdots+x_n=0\}.}

0.1. Structure de {H}

On pose {\psi(x)=\sum\limits_{k=1}^n x_k}.

0.3. Construction d’une base orthogonale de {H}

On applique le procédé de Schmidt à {(v_1,\ldots,v_{n-1})} et l’on note {(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_{n-1})} la base orthogonale obtenue. On pose {F_k=\operatorname{Vect}(v_1,\ldots,v_k)} et l’on note {p_k} la projection orthogonale sur {F_k}.

0.3.3. Détermination de {\varepsilon_k}. Pour {2\le k\le n-1}, on écrit {\varepsilon_k=v_k-\sum_{j=1}^{k-1}\alpha_jv_j.}

Problème — Morphismes de la {\mathbb C}-algèbre {M_n(\mathbb C)}

On suppose {n\ge2}. On note {M_{n,p}(\mathbb C)} l’espace des matrices complexes à {n} lignes et {p} colonnes, {M_n(\mathbb C)=M_{n,n}(\mathbb C)} et {I_n} la matrice identité.

Pour {A\in M_n(\mathbb C)}, on pose {\chi_A(X)=\det(XI_n-A)}. La composition des endomorphismes se note par juxtaposition, et {u^0=\operatorname{id}_E}.

On pose {w=e^{2i\pi/n}} et l’on considère les matrices {C_n=\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0&1\\[8pt]1&0&\cdots&0&0\\[8pt]0&1&\ddots&\vdots&\vdots\\[8pt]\vdots&\ddots&\ddots&0&0\\[8pt]0&\cdots&0&1&0\end{pmatrix},}{D_n=\operatorname{diag}(1,w,\ldots,w^{n-1}).}

1. Résultats préliminaires sur {C_n} et {D_n}

1.1. Cas de la dimension trois. On pose {j=e^{2i\pi/3}}.

1.2. Cas général.

1.3. Une base de {M_n(\mathbb C)}. On note {(e_1,\ldots,e_n)} la base canonique de {E=M_{n,1}(\mathbb C)}, et {u,v} les endomorphismes associés à {C_n,D_n}.

2. Une question de réduction

Soit {E} un espace vectoriel complexe de dimension {n}. On considère {f,g\in\mathcal L(E)} tels que {f^n=g^n=\operatorname{id}_E,\quad fg=wgf.}

2.3. Valeurs propres et sous-espaces propres de {f}. Soit {\lambda} une valeur propre de {f} et {x_0} un vecteur propre associé.

2.4. Une base convenable pour {f} et {g}. Soit {e} un vecteur propre de {f} associé à {1}.

3. Endomorphismes de l’algèbre {M_n(\mathbb C)}

Soit {\Phi:M_n(\mathbb C)\to M_n(\mathbb C)} une application {\mathbb C}-linéaire telle que {\Phi(I_n)=I_n} et {\Phi(AB)=\Phi(A)\Phi(B)} pour toutes matrices {A,B}.

3.3. On note {f_1,g_1} les endomorphismes de {M_{n,1}(\mathbb C)} associés respectivement à {\Phi(D_n),\Phi(C_n)}.