2022-Centrale-Pc2-Corrigé

Centrale-Supélec 2022 — Mathématiques 2 — PC

Ce problème étudie la convergence des polynômes d’interpolation de Lagrange et le phénomène de Runge. La partie I présente les polynômes de Lagrange et de Tchebychev ; la partie II étudie la convergence pour des fonctions de classe {\mathcal C^\infty}. Les sous-parties III.A et III.B, consacrées à une intégrale généralisée, sont indépendantes des deux premières parties.

Notations. {\llbracket k_1,k_2\rrbracket} désigne l’ensemble des entiers compris entre {k_1} et {k_2}, {\lfloor x\rfloor} la partie entière de {x} et {\mathbb R_n[X]} les polynômes réels de degré au plus {n}.

I — Étude de deux familles de polynômes

Soient {n\ge1} et {a_1,\ldots,a_n} des réels distincts. Les polynômes de Lagrange associés sont
{L_i(X)=\prod_{\substack{1\le j\le n\\[8pt]j\ne i}}\frac{X-a_j}{a_i-a_j}.\tag{I.1}}

I.A — Polynômes de Lagrange

On définit, pour {P,Q\in\mathbb R_{n-1}[X]}, {\langle P,Q\rangle=\sum\limits_{k=1}^nP(a_k)Q(a_k)}.

I.B — Polynômes de Tchebychev

Pour {n\ge1}, on pose
{T_n(X)=\sum_{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^p\binom n{2p}X^{n-2p}(1-X^2)^p.}

I.C — Une propriété d’optimalité

Soit {W} un polynôme unitaire de degré {n\ge1}. On veut montrer {\sup_{[-1,1]}|W|\ge2^{1-n}}, puis caractériser l’égalité.

On pose {Q=2^{1-n}T_n-W} et {z_k=\cos(k\pi/n)} pour {0\le k\le n}.

On suppose maintenant {\sup_{[-1,1]}|W|=2^{1-n}}.

II — Interpolation et convergence pour une fonction de classe {\mathcal C^\infty}

II.A — Interpolation d’une fonction de classe {\mathcal C^n}

Soient {n\ge1}, {I=[a,b]} avec {a\lt b}, et {a_1\lt \cdots\lt a_n} dans {I}. On note {L_i} les polynômes de Lagrange associés et {W=\prod\limits_{i=1}^n(X-a_i)}.

Pour une fonction {f} définie sur {I}, son polynôme interpolateur est {\Pi(f)=\sum\limits_{i=1}^nf(a_i)L_i}. C’est l’unique polynôme de degré au plus {n-1} égal à {f} en chacun des {a_i}.

II.B — Suites de polynômes interpolateurs

Pour chaque {n\ge1}, on choisit des réels distincts {a_{1,n}\lt \cdots\lt a_{n,n}} dans un segment {I}. On note {L_{i,n}} leurs polynômes de Lagrange et {P_n=\Pi_n(f)=\sum\limits_{i=1}^nf(a_{i,n})L_{i,n}}. C’est l’unique polynôme de degré au plus {n-1} interpolant {f} en ces points.

II.B.1 — Convergence uniforme vers l’exponentielle

Ici {I=[a,b]} et {f(x)=e^x}.

II.B.2 — Convergence uniforme vers une fonction rationnelle

Soient {a>0}, {I=[-a,a]} et {f(x)=1/(1+x^2)} sur {\mathbb R}.

II.B.3 — Cas de la somme d’une série entière

Soit {\sum\limits_{k\ge0}c_kx^k} de rayon {R>0}. On pose {f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty c_kx^k} pour {|x|\lt R} et {g(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty x^k} pour {|x|\lt 1}.

II.B.4 — Interpolation aux points de Tchebychev

Pour {a>0} et {I=[-a,a]}, on considère {a^*_{k,n}=a\cos((2k-1)\pi/(2n))}, {1\le k\le n}, et {W_n^*(X)=\prod\limits_{k=1}^n(X-a^*_{k,n})}.

On note {P_n^*=\Pi_n^*(f)} l’unique polynôme de degré au plus {n-1} interpolant {f} en ces points.

III — Phénomène de Runge

III.A — Étude d’une intégrale généralisée

Pour {\alpha>0}, on pose {h_\alpha(t)=\ln((1-t^2)/(\alpha^2+t^2))} sur {[0,1[}.

On pose {J_\alpha=\int_0^1h_\alpha(t)\,dt}.

III.B — Application à une somme de Riemann

On pose {a_{k,n}=(2k+1)/(2n)} pour {0\le k\le n-1} et
{S_n(h_\alpha)=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}h_\alpha(a_{k,n}).}

III.C — Le phénomène de Runge

Sur {I=[-1,1]}, on considère {f_\alpha(x)=1/(\alpha^2+x^2)}, avec {\alpha>0}. On reprend {a_{k,n}=(2k+1)/(2n)}.

On note {R_n\in\mathbb R_{2n-1}[X]} le polynôme interpolateur de {f_\alpha} aux {2n} points {\pm a_{k,n}}, {0\le k\le n-1}. Ces points sont régulièrement espacés entre {-(2n-1)/(2n)} et {(2n-1)/(2n)}.

On pose {Q_n(X)=1-(X^2+\alpha^2)R_n(X)}.