2022-Centrale-Mp2-Corrigé

Centrale-Supélec 2022 — MP — Mathématiques 2

Durée : quatre heures. Calculatrice autorisée.

Objectifs et notations

On étudie la dérivation des sommes de séries de fonctions, d’abord dans un cadre déterministe, puis pour des séries aléatoires. Le contrôle des dérivées intermédiaires est remplacé par des hypothèses sur les valeurs des fonctions en un nombre fini de points.

La partie I établit une inégalité d’interpolation, utilisée en II pour un théorème de dérivation. La partie III, indépendante, étudie les séries de Rademacher. La partie IV combine ces résultats.

L’entier {K} est strictement positif. On note {\mathbb R_{K-1}[X]} les polynômes réels de degré au plus {K-1}, et {\mathcal C^K(I)} les fonctions réelles de classe {\mathcal C^K} sur {I}. On convient que {f^{(0)}=f}. Sur {[0,1]}, {\|f\|_\infty=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|}.

I — Inégalités d’interpolation des dérivées

Pour {K} points distincts {x_1\lt \cdots\lt x_K} de {[0,1]}, on veut montrer l’existence de {C>0}, ne dépendant que de ces points, telle que, pour toute {f\in\mathcal C^K([0,1])}, {\begin{array}{l}\displaystyle \max_{0\leq k\lt K}\|f^{(k)}\|_\infty\\[8pt]\displaystyle \quad\leq\|f^{(K)}\|_\infty+C\sum_{\ell=1}^K|f(x_\ell)|.\end{array}\tag{I.1}}I.A — Cas K = 1

On fixe {x_1\in[0,1]} et l’on considère l’inégalité {\|f\|_\infty\leq\|f'\|_\infty+C|f(x_1)|.\tag{I.2}}

I.B — Cas K = 2

On fixe {x_1\lt x_2} dans {[0,1]}. On veut montrer, pour toute {f\in\mathcal C^2([0,1])}, {\begin{array}{l}\displaystyle \max(\|f\|_\infty,\|f'\|_\infty)\\[8pt]\displaystyle \quad\leq\|f''\|_\infty+C(|f(x_1)|+|f(x_2)|).\end{array}\tag{I.3}}

I.C — Cas général par interpolation de Lagrange

On revient à {K\geq1} et aux points distincts {x_1,\ldots,x_K}.

Dans Q8 et Q9, on fixe {f\in\mathcal C^K([0,1])} et son polynôme interpolateur {P} donné par Q7.

II — Dérivation Cᴷ pour les séries de fonctions

II.A — Énoncé général

Soient {a\lt b}, {K} points distincts {x_1\lt \cdots\lt x_K} de {[a,b]}, et {(f_n)} une suite de fonctions réelles de classe {\mathcal C^K} sur ce segment.

On suppose (H1) que {\sum f_n^{(K)}} converge normalement, et (H2) que chacune des séries {\sum f_n(x_\ell)} converge absolument.

On peut ainsi poser {F_k(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}f_n^{(k)}(x)} pour {0\leq k\leq K} et {x\in[a,b]}.

II.B — Application sur un exemple

Les dérivées intermédiaires de l’exemple suivant ne s’expriment pas à l’aide des fonctions usuelles.

III — Convergence d’une série aléatoire de Rademacher

Les variables {(X_n)_{n\geq0}} sont mutuellement indépendantes et vérifient {\mathbb P(X_n=1)=\mathbb P(X_n=-1)=1/2}. La suite réelle {(a_n)} satisfait {\sum a_n^2\lt +\infty}.

On pose {S_N=\sum\limits_{n=0}^NX_na_n}. Pour une suite strictement croissante d’entiers {\phi(j)}, on définit {\begin{array}{l}A_j=\{|S_{\phi(j+1)}-S_{\phi(j)}|>2^{-j}\},\\[8pt]B_j=\left\{\max_{\phi(j)\lt n\leq\phi(j+1)}|S_n-S_{\phi(j)}|>2^{-j}\right\}.\end{array}}Pour {\phi(j)\lt m\leq\phi(j+1)}, l’événement {B_{j,m}} signifie que {m} est le premier indice de ce bloc où le seuil est dépassé : {\begin{array}{l}|S_m-S_{\phi(j)}|>2^{-j},\\[8pt]|S_n-S_{\phi(j)}|\leq2^{-j}\quad(\phi(j)\leq n\lt m).\end{array}}III.A — Construction de φ et majoration de P(Aⱼ)

On fixe désormais une telle suite {(\phi(j))}.

III.B — Inégalité maximale de Lévy

On veut établir {\mathbb P(B_j)\leq2\mathbb P(A_j)}.

III.C — Convergence de la série aléatoire

IV — Dérivation Cᴷ pour des séries aléatoires de fonctions

On fixe {K\geq1}, des variables de Rademacher indépendantes {(X_n)}, des points distincts {x_1\lt \cdots\lt x_K} de {[0,1]} et des fonctions réelles {f_n\in\mathcal C^K([0,1])}.

On suppose (H1) que {\sum f_n^{(K)}} converge normalement, et (H2′) que {\sum\limits_n f_n(x_\ell)^2} converge pour chaque {\ell}.