Suites de fonctions

Limite de fonctions inverses

(Oral Centrale 2018)
On pose : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;A_{n}:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{x^{k}}{k}}.
Montrer que : {\forall\,y\in\mathbb{R}^{+},\;\exists\,!\,x\in\mathbb{R}^{+},\;A_{n}(x)=y}. On note {x=f_{n}(y)}.
Tracer, pour différents {n}, les fonctions {y\mapsto f_{n}(y)}.
Montrer que {(f_n)_{n\ge1}} CVS sur {\mathbb{R}^+} vers {f} telle que : {\forall\,x\in\mathbb{R}^{+},\;0\le f(x)\lt 1}
Montrer que {\forall\,x\ge 0,\;f(x)=1-\text{e}^{-x}}.