Séries entières

Équation fonctionnelle f(qz)-f(z)=g(z)

(Oral X-Cachan Psi)
Soit {\left\|x\right\|=d(x,\mathbb{Z}} (distance distance à {\mathbb{Z}}).
Soit {E} l’ensemble des {f\colon\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}} DSE de rayon +\infty.
Soient {g\in E} et {q\in\mathbb{C}}, et l’équation : {(\star)\;\forall\,z\in\mathbb{C},\;f(qz)-f(z)=g(z)}{f} est cherchée dans {E}.
Selon q, on étudie l’existence d’un solution à (*).

Exp(A), avec A antisymétrique

(Oral X-Cachan Psi)
Soit {A =\begin{pmatrix}0&-c&b\\ c& 0& a\\-b&-a&0\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}.
1. Montrer : {\exists\theta\in\mathbb{R},\;A^{3}=-\theta A}.
2. Montrer : {\forall\, n\in\,\mathbb{N}^{*},\;A^{2n}=(-\theta)^{n-1}A^{2}}.
3. On pose {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}A^{k}}.
Montrer que {S_{\infty}= \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}} existe.
Calculer {(\alpha,\beta) \in\,\mathbb{R}^{2}} tel que {S_{\infty} = I_{3} + \alpha A + \beta A^{2}}.