Mpsi/Pcsi

Lancer de dés pipés

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan 2015, filière Psi)
Dans un dé pipé à six faces numérotées de 1 à 6, on note {p_{k}} la probabilité d’obtenir {k}.
Soit {N_{n,k}} le nombre de {k} en {n} lancers. Que dire de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}N_{n,k}}?
Si {n\,p_{k}\in\mathbb{N}} pour tout k, probabilité de {\forall\, k\in[\![1,6]\!],\;N_{n,k}=n\,p_{k}} ?

Calcul d’une espérance

Une urne contient {b} boules blanches et {r} boules rouges, avec {b\ge1} et {r\ge1}.
On effectue une succession de tirages d’une boule de la façon suivante :
– si la boule tirée est blanche, on s’en débarrasse;
– si elle est rouge, on la remet dans l’urne.
Déterminer l’espérance du numéro X du tirage de la dernière boule blanche.

Une urne bicolore

Une urne contient {a} boules blanches et {b} boules noires. On retire une à une et sans remise les boules de l’urne. Soit {X} la variable aléatoire indiquant le nombre de tirages effectués jusqu’au retrait des {a} boules blanches. Déterminer la loi de {X}. Calculer {\text{E}(X)} et {\text{V}(X)}.