Mpsi/Pcsi

Exercices corrigés

Un produit trigonométrique

(oral École Navale)
Pour {0\le k\le n-1}, soit {\omega_{k}=e^{2ik\pi/n}}.
Avec {n} impair, calculer {P=\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1-\omega_{k}}{1+\omega_{k}}}.
Exprimer {P} en fonction de {\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n-1}\tan \dfrac{k\pi}{n}}.

Fonctions additives bornées à l’origine

(Oral Centrale)
Soit {f\colon\mathbb{R}\in\mathbb{R}} telle que : {\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^{2},\;f(x+y)=f(x)+f(y)}Déterminer {f(0)}. Pour {x\in\mathbb{R}} et {\lambda\in\mathbb{Q}}, exprimer {f(\lambda x)} en fonction de {f(x)}.
On suppose {f} continue en {0}. Montrer que {f} est continue sur {\mathbb{R}}. Dans ce cas, déterminer {f}.
Idem avec {f} bornée au voisinage de {0}.