Mpsi/Pcsi

Moyenne de permutations

Soit {(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})} la base canonique de {\mathbb{R}^{n}}, et S_n l’ensemble des permutation de [[1,n]].
Pour {\sigma\in S_{n}} soit {f_{s}\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})} définie par {\forall i\in[[1,n]],\;f_{s}(e_{i})=e_{s(i)}}.
Identifier l’application {p_{n}= \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{s\in S_{n}}f_{s}}.

Le théorème chinois

Soit {n_1,n_2,\ldots,n_r} dans {\mathbb{N}^*}, premiers entre eux deux à deux. Soit {N=\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{r}n_k}.
Il existe un unique x\in[\![0,N-1]\!] tel que x\equiv n_j\mod n_j pour tout j.
Ce résultat est communément appelé théorème chinois. L’objet de cet article est de programmer le calcul de x en Python (deux méthodes).

Coefficients de Bézout

Soient {m,n} dans {\mathbb{N}^*}, avec {m\wedge n=1}.
Il existe une infinité de {(u,v)\in\mathbb{Z}^2} tel que {um+vn=1}.
Il existe en particulier un couple {(u,v)} unique tel que {\left|u\right|\le n/2} et {\left|v\right|\le m/2}.
L’objet de cet article est de programmer deux méthodes (l’une itérative, l’autre récursive) de calcul des deux entiers u et v.

Le collectionneur, épisode 1

Pour doper ses ventes, une marque de chocolat cache dans chaque tablette (et de façon équiprobable) l’une des N figurines d’une collection. On considère ici l’expérience (aléatoire!) vécue par un client cherchant compulsivement à compléter sa collection.
On note {X} le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album.
Dans cet épisode, on calcule la loi de X, son espérance, sa variance.

L’urne d’Ehrenfest, épisode 1

Une urne contient {N} boules indiscernables au toucher, de couleur bleue ou rouge.
On répète la “manipulation” suivante : “tirer une boule au hasard de l’urne et la remplacer par une boule de la couleur opposée
On note {X_{n}} le nombre de boules bleues après la {n}-ième manipulation.
Dans cette partie, on calcule {\text{E}(X_{n})} et sa limite quand {n\rightarrow+\infty}.