Mpsi/Pcsi

Exercices corrigés

Deux suites récurrentes

(Oral Mines-Ponts)
Soit {\left(r_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}} de limite {r>0}.
On pose {\begin{cases}a_{0}=1\\b_{0}=1\end{cases}} et {\begin{cases}(1) :a_{n+1}=a_{n}\!+\!b_{n}/2\\(2) :b_{n+1}=r_{n}\left(4a_{n}\!+\!b_{n}\right)\end{cases}}
Justifier que {\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }.
On suppose que {n\mapsto q_{n}=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}} est monotone.
Donner sa limite, et {k>0} tel que {b_{n}\stackrel{+\infty}{\sim}ka_{n}}.

Récurrences croisées

(Oral Mines-Ponts)
Soient {\alpha ,\beta} dans {\mathbb{R}^{+*}}. On pose {a_{1}=b_{1}=1} puis :{\begin{array}{l}(1) : a_{n+1}=a_{n}+\beta b_{n}\\[6pt](2) : b_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\left(\alpha a_{n}+b_{n}\right)\end{array}}Justifier que {\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }.
On suppose que {n\mapsto a_{n+1}/a_{n}} est monotone.
Montrer qu’elle converge et que {b_{n}\stackrel{_{+\infty}}{\sim}\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}a_{n}}

Primitives et limites comparées

(Mines-Ponts)
Soit {f\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})} . Pour {x\in \mathbb{R}^{+}}, on pose : {F(x)=\!\displaystyle\int_{0}^{x}\!\!f(t)\text{d}t\;\text{et}\;g(x)\!=\!f(x)\!+\!F(x)}On suppose que {f} a une limite finie en {+\infty }.
En est-il de même de {F}?
On suppose que {F} a une limite finie en {+\infty }.
En est-il de même de {f}?
On suppose que {g} a une limite finie en {+\infty }.
Déterminer la limite de {f} en {+\infty }.