Mp/Pc/Psi

Exercices corrigés

Deux normes équivalentes

(Oral Mines-Ponts)
On note {E=\mathcal{C}^{1}([0,1],\mathbb{R})}.
Soit {\varphi \in E} telle que {J=\displaystyle\int_{0}^{1}\varphi (t)\mathrm{d}t\neq 0}.
Pour toute {f\in E}, on pose : {\begin{array}{rl}N(f)&=|f(0)|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\\[9pt]N_{\varphi}(f)&=\left\vert \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\varphi (t)\mathrm{d}t\right|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\end{array}}Montrer que {N} et {N_{\varphi}} sont des normes équivalentes.

Double minimisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})} une matrice symétrique.
Soit {\rho (A)=\max \{|\lambda|,\;\lambda \in\text{Sp}(A)\}}.
Soit {E} l’ensemble des vecteurs propres unitaires de {A}. Pour {X\in E}, on pose :{\begin{cases}F(A,X)=\inf \left\{\text{tr}(A-\mu\,XX^{\top})^{2},\;\mu\in\mathbb{R}\right\}\\[6pt]m(A)=\inf \{F(A,X),X\in E\}\end{cases}}Montrer que {m(A)=\text{tr}\left(A^{2}\right) -\rho\left(A^{2}\right)}.

Sous-espaces stables, commutant

(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=\begin{pmatrix}{1} & {j} & {j^{2}} \\ {j} & {j^{2}} & {1} \\ {j^{2}} & {1} & {j}\end{pmatrix}}, où {j=\text{e}^{2i\pi/3}}.
La matrice {A} est-il diagonalisable ?
Déterminer les sous-espaces stables par {A}.
Déterminer la dimension de :{\mathcal{C}_A=\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}

Une série de produits

(Oral Ccp)
Soit {(a_{n})_{n\geq 1}} une suite de {\mathbb{R}^+}.
On pose : {u_{n}=\dfrac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right) \ldots \left(1+a_{n}\right)}}
Calculer {u_{1}+u_{2}}, et généraliser.
Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_{n}} converge.
Calculer {\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}} quand {a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}}.