Mp/Pc/Psi

Exercices corrigés

Intégrale à paramètre et série

(Oral Mines-Ponts)
Soit {f(x,t)=\dfrac{\sin (x t)}{\text{e}^{t}-1}} et {I(x)\!\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!f(x,t)\mathrm{d}t}
Montrer que {I} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer que {I(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{k^{2}+x^{2}}}.
En déduire {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}I(x)}.

Intégrale de t^(t^x)

(Oral Mines-Ponts)
Soit {f_x(t)=t^{t^x}=\text{e}^{t^x\ln t}} et {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f_x(t) \,\text{d}t} .
Montrer que {F} est croissante et continue sur {\mathbb{R}},
Écrire {F(x)} comme somme de série si {x>0}.
Étudier la limite de {F} en {+\infty}.

Diagonalisation d’une matrice en Z

(Oral Centrale)
Soit {Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, définie par :{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}Prouver que {Z_n} est diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}
Procéder à la diagonalisation efffective de {Z_n}.
Donner l’exemple de {n=5} et {n=6}.

Le centre d’appels téléphoniques

(Oral Mines-Ponts et Centrale)
Un centre d’appel doit contacter {n} clients.
Chacun décroche avec une probabilité {p\in ]0,1[}.
Dans une 1ère vague d’appels, {X_{1}} clients décrochent.
Soit {X_{2}} le nombre de clients qui ne décrochent qu’à la deuxième vague, etc.
{X_{1},X_{2}} sont-elles indépendantes ? Quelle est la loi de {X_k}?
Quelle est la loi du numéro {Y_{i}} de la vague d’appels à laquelle le i-ème client décroche enfin?

Fonctions de variables de même loi

(Oral Mines-Ponts)
Soient {X_{1},X_{2}} deux v.a.r à valeurs dans {\mathbb{R}^{+*}}, indépendantes et de même loi.
Soit {Y_{1}=\dfrac{X_{1}}{X_{1}+X_{2}}} et {Y_{2}=\dfrac{X_{2}}{X_{1}+X_{2}}}
Montrer que {Y_{1}} a une espérance et une variance.
Calculer {E\left(Y_{1}\right)} et montrer que {\text{cov}\left(Y_{1},Y_{2}\right) =-V\left(Y_{1}\right)}.