Équations différentielles

Mouvement circulaire

Soit le système différentiel {(S):\begin{cases}x'(t)= y(t)- z(t)\\y'(t)= z(t)- x(t)\\z'(t)= x(t)- y(t)\end{cases}}, avec {\begin{cases}x(0)=1\\y(0)=0\\z(0)=0\end{cases}}
1. Discuter l’existence et l’unicité de la solution {t\mapsto M(t)=(x(t),y(t),z(t))}.
2. Montrer que la trajectoire est incluse dans une sphère et un plan.
3. Reconnaître l’intersection de cette sphère et de ce plan.
4. Résoudre directement {(S)} et retrouver le résultat de 3).

Un système différentiel

Soient {n} dans {\mathbb{N}^{*}} et {A} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. Soit {(e_{k})_{1\le k\le n}} la base canonique de {\mathbb{R}^{n}}.
Pour {k\in[\![1,n]\!]}, soit le système différentiel {(S_k) : \begin{cases}X'_{k} = AX_{k}\\X_{k}(0) = e_{k}\end{cases}}
On note {X(t)} la matrice de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de colonnes {X_{k}(t)}, avec {1 \le k \le n}.
1. Montrer que {X} est définie et que : {\forall t \,\in\mathbb{R},\;\det(X(t))\ne 0}.
2. Établir une équation différentielle simple vérifiée par {\det(X)}.
3. Déterminer {\det(X(t))} en fonction de {\text{tr}(A)}.