Équations différentielles

Équation différentielle et prolongement

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit l’équation différentielle

{(E)}

{2xy'+y=\dfrac{1}{1-x}}

.
Résoudre

{(E)}

sur

{]-\infty ,0[}

{]0,1[}

{]1,+\infty \lbrack}

.
Montrer que

{(E)}

admet une unique solution sur

{]-\infty ,1[}

.
Montrer que cette solution est

{\mathcal{C}^{\infty}}

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Calcul d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{f:x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-\cos (tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\,\text{d}t}

est

{C^{2}}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer l’égalité

{\vphantom{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}f(x)=\dfrac{\pi}{2}(e^{-x}+x-1)}

sur

{\mathbb{R}^{+}}

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Série entière et suite récurrente

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{a_{0}=a_{1}=1}

puis

{a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}

.
Que peut-on dire du rayon

{R}

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n}

?
Trouver

{f(x)}

et exprimer les

{a_{n}}

à l’aide d’une somme.

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Suite de solutions d’une équa-diff

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E_{n}}

l’équation différentielle

{(n+1)y''-(2n+1)y'+ny=0}

.
Soit

{y_{n}}

la solution de telle que

{y_{n}(0)=0}

{y_{n}'(0)=1}

.
Montrer que la suite

{(y_n)}

converge uniformément sur tout segment de

{\mathbb{R}^+}

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Autour du lemme de Gronwall

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{q\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R}^{+*})}

, croissante. Soit

{f}

une solution de

{f''+qf=0}

.
Montrer que

{f}

est bornée.

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Endomorphisme de polynômes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])}

défini par

{u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}

.
Résoudre

{nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y}

sur

{]-1,1[}

. Diagonaliser

{u}

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Une équation fonctionnelle

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})}

telles que :

{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}

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Parité des solutions d’une équa-diff

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit l’équation différentielle

{(E):y''+a(t)y'+b(t)y=0}

.
On suppose

{a,b}

continues sur

{\mathbb{R}}

. À quelle condition sur

{a,b}

existe-t-il une base de

{\mathcal{S}(E)}

formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire?

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Une équations différentielle

(Oral Centrale Mp) On étudie une solution particulière de (1-x)^3y”(x)=y(x)

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Série génératrice et suite récurrente

(Oral Centrale Mp). Étude d’une suite récurrente, via sa série génératrice.

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Une inéquation différentielle

Soit

{f\in C^{1}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})}

telle que

{f(1)=1}

et :

{\forall x\geq 1}

{f^{\prime }(x)=\dfrac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}}

.
Montrer que

{f}

a une limite finie

{L}

{+\infty }

et que

{L\leq 1+\dfrac{\pi}{4}}

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Série entière et équation différentielle

Rayon de convergence et somme

f

{\displaystyle_{n\ge0}\dfrac{4^nn!^2}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}}

.
On notera que

f

est solution de

{(E):\;(1-x^2)y'-xy=1}

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DSE de arcsin²(x)

Développer

{f(x)=\arcsin^{2}(x)}

en série entière à l’origine.

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Équation différentielle y‘‘‘-y = e^pt

(Centrale 2016)
Soit

{p\in \mathbb{R}}

. Résoudre l’équation

{\forall\, t\in \mathbb{R},\;f^{(3)}(t)-f(t)=e^{pt}\ (\star)}

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Série entière, équation différentielle

Avec une équation différentielle, rayon et expression de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{2n}{n}} x^n}

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Un système différentiel

Résoudre

{X'=AX}

avec

{A=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-3&4&-1\\ -2&0&2\\3&-12&9\end{pmatrix}}

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Équation différentielle y″=(1+x⁴)y

On trouve une base du plan des solutions de

{(\star):\; y''=(1+x^{4})y}

, connaissant la solution, notée

f

, telle que

{f(0)=f'(0)=1}

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Une équation intégrale

Résoudre dans

{\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})}

{\forall x\in \mathbb{R},\;f(x)+\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,\text{d}t=1}

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Équation différentielle de Legendre

On note

{U_{n}=(X^{2}-1)^{n}}

{P_{n}=U_n^{(n)}}

.
1. Montrer que

{P_{n}}

vérifie

{(E):\ (1-x^{2})y''(x)-2xy'(x)+n(n+1) y(x)=0}

.
2. Déterminer les solutions de

{(E)}

qui sont

{\mathcal{C}^{2}}

sur

{[-1,1]}

.
3. Montrer que les

P_n

sont orthogonaux pour

{(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}

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Équation différentielle y“+f(x)y = 0

On étudie l’équation

{(E): y'' + f(x)y = 0}

, où

{f}

est continue intégrable sur

{\mathbb{R}}

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