Une équations différentielle
(Oral Centrale Mp) On étudie une solution particulière de (1-x)^3y”(x)=y(x)
Équations différentielles
Série génératrice et suite récurrente
(Oral Centrale Mp). Étude d’une suite récurrente, via sa série génératrice.
Une inéquation différentielle
Soit {f\in C^{1}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})} telle que {f(1)=1} et : {\forall x\geq 1}, {f^{\prime }(x)=\dfrac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}}.
Montrer que {f} a une limite finie {L} en {+\infty } et que {L\leq 1+\dfrac{\pi}{4}}.
Montrer que {f} a une limite finie {L} en {+\infty } et que {L\leq 1+\dfrac{\pi}{4}}.
Série entière et équation différentielle
Rayon de convergence et somme f de {\displaystyle_{n\ge0}\dfrac{4^nn!^2}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}}.
On notera que f est solution de {(E):\;(1-x^2)y'-xy=1}.
On notera que f est solution de {(E):\;(1-x^2)y'-xy=1}.
DSE de arcsin2(x)
Développer {f(x)=\arcsin^{2}(x)} en série entière à l’origine.
Équation différentielle y‘‘‘-y = ept
(Centrale 2016)
Soit {p\in \mathbb{R}}. Résoudre l’équation {\forall\, t\in \mathbb{R},\;f^{(3)}(t)-f(t)=e^{pt}\ (\star)}
Soit {p\in \mathbb{R}}. Résoudre l’équation {\forall\, t\in \mathbb{R},\;f^{(3)}(t)-f(t)=e^{pt}\ (\star)}
Série entière, équation différentielle
Avec une équation différentielle, rayon et expression de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{2n}{n}} x^n}.
Un système différentiel
Résoudre {X'=AX} avec {A=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-3&4&-1\\ -2&0&2\\3&-12&9\end{pmatrix}}.
Équation différentielle y″=(1+x4)y
On trouve une base du plan des solutions de {(\star):\; y''=(1+x^{4})y}, connaissant la solution, notée f, telle que {f(0)=f'(0)=1}.
Une équation intégrale
Résoudre dans {\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})} : {\forall x\in \mathbb{R},\;f(x)+\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,\text{d}t=1}.
Équation différentielle de Legendre
On note {U_{n}=(X^{2}-1)^{n}} et {P_{n}=U_n^{(n)}}.
1. Montrer que {P_{n}} vérifie {(E):\ (1-x^{2})y''(x)-2xy'(x)+n(n+1) y(x)=0}.
2. Déterminer les solutions de {(E)} qui sont {\mathcal{C}^{2}} sur {[-1,1]}.
3. Montrer que les P_n sont orthogonaux pour {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
1. Montrer que {P_{n}} vérifie {(E):\ (1-x^{2})y''(x)-2xy'(x)+n(n+1) y(x)=0}.
2. Déterminer les solutions de {(E)} qui sont {\mathcal{C}^{2}} sur {[-1,1]}.
3. Montrer que les P_n sont orthogonaux pour {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Équation différentielle y“+f(x)y = 0
On étudie l’équation {(E): y'' + f(x)y = 0}, où {f} est continue intégrable sur {\mathbb{R}}.
Équa. différentielle et série entière
Solutions développables en série entière de {(E): 4xy'' - 2y' + 9x^{2}y = 0}.
Équa. diff. et développement limité
On considère l’équation différentielle {(E)\,\colon 2(x-1)y' + y = \sin(2x) + x^{2}}.
Montrer que (E) admet une unique solution {f} sur {]-\infty,1[} vérifiant {f(0) = 0}.
Donner un développement limité de {f} à l’ordre {4} en {0}.
Montrer que (E) admet une unique solution {f} sur {]-\infty,1[} vérifiant {f(0) = 0}.
Donner un développement limité de {f} à l’ordre {4} en {0}.
Un système différentiel linéaire
Résoudre le système différentiel {\begin{cases}x'=-3x+5y-5z\\y'=-4x+6y-5z\\z'=-4x+4y-3z\end{cases}}
Série entière et produit de Cauchy
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}, et {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}}.
Exprimer {f(x)} à l’aide de fonctions usuelles.
Exprimer {f(x)} à l’aide de fonctions usuelles.
Endomorphisme intégral
Pour {f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}, soit {\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}.
On demande les valeurs propres et les vecteurs propres de {\Phi}.
On demande les valeurs propres et les vecteurs propres de {\Phi}.
Équa. diff. linéaire d’ordre 1
Résoudre l’équation différentielle {(E):\ x(1 - x^{2})y'+(2x^{2} - 1)y = x}.
Équa. diff. linéaire d’ordre 2
Un système différentiel matriciel
Soit {A_{0}\in{\mathcal M}_{d}(\mathbb{R})} symétrique, et {B\in{\mathcal M}_{d}(\mathbb{R})} antisymétrique.
Soit l’équation {(E)} : {A'(t) = A(t)B - BA(t)} où {A(t)\in {\mathcal M}_{d}(\mathbb{R})} et {A(0) = A_{0}}.
On va montrer que la matrice {A(t)} reste semblable à A_0.
Soit l’équation {(E)} : {A'(t) = A(t)B - BA(t)} où {A(t)\in {\mathcal M}_{d}(\mathbb{R})} et {A(0) = A_{0}}.
On va montrer que la matrice {A(t)} reste semblable à A_0.
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