Équations différentielles
Exercices corrigés

Intégrale et équation différentielle

(Oral Mines-Ponts)
On admet que

{\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\sqrt \pi}

.
On pose

{I(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{t x-t^{2}}\,\text{d}t}

.
Montrer que

{2I''(x)-x I'(x)-I(x)=0}

.
En déduire

{I(x)}

.
Retrouver ce résultat par une méthode directe.

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M'(x)=A(x)M(x), avec A antisymétrique

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathcal{A}_{n}(\mathbb{R}))}

{M\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}))}

.
On suppose :

{\forall\,x\in\mathbb{R},\;M'(x)=A(x)M(x)}

.
On suppose :

{M(0)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}

.
Montrer que :

{\forall\,x\in\mathbb{R},\; M(x)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}

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Probabilités et équation différentielle

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B}

deux v.a.r. suivant la loi

{\mathcal{G}(p)}

.
Déterminer la probabilité que les solutions de :

{(E_{\omega }): y''+(A-1)y^{\prime }+By=0}

tendent vers

{0}

{+\infty}

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Encore un système différentiel

(Oral CCInp)
Résoudre le système :

{(S)\ \begin{cases}x'=3x+y\\y'=2x-y\\z'=-4x-8y+2z\end{cases}}

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Équation différentielle et prolongement

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit l’équation différentielle

{(E)}

{2xy'+y=\dfrac{1}{1-x}}

.
Résoudre

{(E)}

sur

{]-\infty ,0[}

{]0,1[}

{]1,+\infty \lbrack}

.
Montrer que

{(E)}

a une unique solution sur

{]-\infty ,1[}

.
Montrer que cette solution est

{\mathcal{C}^{\infty}}

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Calcul d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-\cos (tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\,\text{d}t}

Montrer que

{f}

est

{C^{2}}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer

{\vphantom{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}f(x)=\dfrac{\pi}{2}(e^{-x}+x-1)}

sur

{\mathbb{R}^{+}}

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Série entière et suite récurrente

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{a_{0}=a_{1}=1}

puis

{a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}

.
Que peut-on dire du rayon

{R}

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n}

?
Trouver

{f(x)}

et exprimer les

{a_{n}}

à l’aide d’une somme.

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Suite de solutions d’une équa-diff

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E_{n}:(n+1)y''-(2n+1)y'+ny=0}

.
Soit

{y_{n}}

la solution telle que

{y_{n}(0)=0}

{y_{n}'(0)=1}

.
Montrer que la suite

{(y_n)}

converge uniformément sur tout segment de

{\mathbb{R}^+}

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Autour du lemme de Gronwall

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{q\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R}^{+*})}

, croissante.
Soit

{f}

une solution de

{f''+qf=0}

.
Montrer que

{f}

est bornée.

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Endomorphisme de polynômes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])}

défini par

{u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}

.
Résoudre

{nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y}

sur

{]-1,1[}

. Diagonaliser

{u}

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Une équation fonctionnelle

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})}

telles que :

{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}

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Parité des solutions d’une équa-diff

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(E):y''+a(t)y'+b(t)y=0}

.
On suppose

{a,b}

continues sur

{\mathbb{R}}

. À quelle condition sur

{a,b}

existe-t-il une base de

{\mathcal{S}(E)}

formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire?

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Une équation différentielle

(Oral Centrale Mp)
On étudie une solution particulière de (1-x)^3y”(x)=y(x)

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Série génératrice et suite récurrente

(Oral Centrale Mp)
Étude d’une suite récurrente, via sa série génératrice.

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Une inéquation différentielle

(Oral X-Cachan )
Soit

{f\in C^{1}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})}

telle que

{f(1)=1}

et :

{\forall x\geq 1}

{f^{\prime }(x)=\dfrac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}}

.
Montrer que

{f}

a une limite finie

{L}

{+\infty }

et que

{L\leq 1+\dfrac{\pi}{4}}

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Série entière et équation différentielle

Rayon et somme

f

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{4^nn!^2}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}}

.
On notera que

f

vérifie

{(1-x^2)y'-xy=1}

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DSE de arcsin²(x)

Développer

{f(x)=\arcsin^{2}(x)}

en série entière.

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Équation différentielle y”’-y = e^pt

(Oral Centrale )
Résoudre :

{f^{(3)}(t)-f(t)=e^{pt}}

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Série entière, équation différentielle

(Oral Ccp et Mines-Ponts)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{2n}{n}} x^n}

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Un système différentiel

(Oral Ccp)
Résoudre

{X'=AX}

où

{A=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-3&4&-1\\ -2&0&2\\3&-12&9\end{pmatrix}}

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