Dénombrements

Le collectionneur, épisode 1

Pour doper ses ventes, une marque de chocolat cache dans chaque tablette (et de façon équiprobable) l’une des N figurines d’une collection. On considère ici l’expérience (aléatoire!) vécue par un client cherchant compulsivement à compléter sa collection.
On note {X} le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album.
Dans cet épisode, on calcule la loi de X, son espérance, sa variance.

Les coureurs

En {n} points distincts d’une piste circulaire, {n} coureurs sont prêts à partir.
Au top départ, chacun démarre en choisissant aléatoirement un sens de rotation. Quand deux coureurs se rencontrent, ils font demi-tour et repartent immédiatement. Tous les coureurs vont à la même vitesse, et cette vitesse reste constante. Montrer qu’au bout d’un certain temps, tous se retrouvent à leur point de départ.

Lancer de dés pipés

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan 2015, filière Psi)
Dans un dé pipé à six faces numérotées de 1 à 6, on note {p_{k}} la probabilité d’obtenir {k}.
Soit {N_{n,k}} le nombre de {k} en {n} lancers. Que dire de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}N_{n,k}}?
Si {n\,p_{k}\in\mathbb{N}} pour tout k, probabilité de {\forall\, k\in[\![1,6]\!],\;N_{n,k}=n\,p_{k}} ?