Dénombrements

Exercices corrigés

Le collectionneur, épisode 1

Pour doper ses ventes, une marque de chocolat cache dans chaque tablette (et de façon équiprobable) l’une des N figurines d’une collection. On considère ici l’expérience (aléatoire!) vécue par un client cherchant compulsivement à compléter sa collection.
On note {X} le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album. Dans cet épisode, on calcule la loi de X, son espérance, sa variance.

Le dernier non effacé

On écrit à la suite tous les entiers de {1} jusqu’à {2017}. On les efface de {3} en {3} : d’abord {1}, puis {4}, puis {7}, etc. On recommence sur la liste restante 2,3,5,6,8,9,11,\ldots et ainsi de suite. Quel est le dernier nombre affiché, et au bout de combien d’itérations? Illustrer tout cela avec Python.

Les coureurs

En {n} points distincts d’une piste circulaire, {n} coureurs sont prêts à partir.
Au top départ, chacun démarre en choisissant aléatoirement un sens de rotation. Quand deux coureurs se rencontrent, ils font demi-tour et repartent immédiatement. Tous les coureurs vont à la même vitesse, et cette vitesse reste constante. Montrer qu’au bout d’un certain temps, tous se retrouvent à leur point de départ.

La dernière moyenne

On écrit une liste de n nombres réels. On en efface deux, pris au hasard, pour les remplacer par leur demi-somme. On répète cette opération jusqu’à ce qu’il reste un seul réel X. Quelle est la valeur minimum possible pour X? Illustrer avec Python.