Une intégrale qui résiste
(Oral Centrale)
Calcul de l’intégrale {J=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln^2(1-x)}{x}\,\text{d}x}.
Calcul de l’intégrale {J=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln^2(1-x)}{x}\,\text{d}x}.
Centrale
Méthode du gradient à pas constant
(Centrale Mp) Dans {\mathbb{R}^n}, résolution de {Ax=b} par la méthode du gradient à pas constants.
Somme des inverses des “k parmi n”
(Oral Centrale Mp)
Étude de la somme des inverses des {\dbinom{n}{k}}, pour {0\le k\le n}.
Étude de la somme des inverses des {\dbinom{n}{k}}, pour {0\le k\le n}.
Accélération de convergence (Aitken)
(Centrale Mp) Accélération de la convergence d’une suite récurrente (méthode d’Aitken)
Étude de n ⟼ (1+1/n)n+a
(oral Centrale Mp)
Pour tout réel {a}, on sait que la suite {n \mapsto (1+1/n)^{n+a}} tend vers e. Dans cet exercice, on étudie la monotonie de cette suite, et sa position par rapport à la limite e, en fonction du paramètre {a}.
Pour tout réel {a}, on sait que la suite {n \mapsto (1+1/n)^{n+a}} tend vers e. Dans cet exercice, on étudie la monotonie de cette suite, et sa position par rapport à la limite e, en fonction du paramètre {a}.
Un algorithme de Lehmer
(Centrale Mp) Un algorithme de Lehmer de décomposition de arctan(a/b).
Réduction d’une matrice en ᒧ
(Exercice d’oral Centrale Mp) Réduction d’une matrice en ᒧ
Approximants de Padé de exp(x)
(Oral Centrale Mp)
Approximants de Padé de exp(x)
Approximants de Padé de exp(x)
Déterminant et polynômes
Soit n\in\mathbb{N}, et {P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}} pour 0\le j\le n.
On étudie la matrice des coefficients a_{n,i,j} et on calcule son déterminant.
On étudie la matrice des coefficients a_{n,i,j} et on calcule son déterminant.
Suite presque toujours périodique
(oral Centrale Mp)
Pour a\gt 1, on étudie la suite u_1=2 et u_{n+1}=2-a/u_{n}, à valeurs dans ℝ∪{∞}.
Pour a\gt 1, on étudie la suite u_1=2 et u_{n+1}=2-a/u_{n}, à valeurs dans ℝ∪{∞}.
Un produit scalaire entre polynômes
Étude de {\left(f\mid g\right)=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})}, où {c_k=\cos\Bigl(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr)}
Matrices de Householder
(oral Centrale Mp) Matrices de Householder pour a décomposition QR
Racines du polynôme dérivé (bis)
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k^2)}
Les racines du polynôme dérivé
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k)}
Une série numérique à paramètre
(Oral Centrale)
Étude de {S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}.
Étude de {S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}.
Dans une quartique, le nombre d’or
(Oral Centrale Mp)
Le nombre d’or caché dans la sécante joignant deux inflexions d’une quartique.
Le nombre d’or caché dans la sécante joignant deux inflexions d’une quartique.
Déterminant de la matrice des ppcm(i,j)
La matrice M des ppcm(i,j). Décomposition puis déterminant de M.
Déterminant de la matrice des pgcd(i,j)
Étude d’une hélice
(Oral Centrale)
Étudier l’arc paramétré défini par :
x(t)=(1\!+\!\cos t)\cos(t), \;y(t)=(1\!+\!\cos t)\sin (t), \;z(t)=4\sin(t/2)
Étudier l’arc paramétré défini par :
x(t)=(1\!+\!\cos t)\cos(t), \;y(t)=(1\!+\!\cos t)\sin (t), \;z(t)=4\sin(t/2)
Équation différentielle y‘‘‘-y = ept
(Centrale 2016)
Soit {p\in \mathbb{R}}. Résoudre l’équation {\forall\, t\in \mathbb{R},\;f^{(3)}(t)-f(t)=e^{pt}\ (\star)}
Soit {p\in \mathbb{R}}. Résoudre l’équation {\forall\, t\in \mathbb{R},\;f^{(3)}(t)-f(t)=e^{pt}\ (\star)}