Convergence cubique d’un produit infini
(Oral Centrale Mp)
Convergence cubique d’un produit infini
Convergence cubique d’un produit infini
Calculs asymptotiques
Une suite récurrente paramétrée
(Oral Centrale)
Pour {x\gt0}, on étudie la suite définie par {u_0=x } et {u_{n+1}=u_n+u_n^2}.
Pour {x\gt0}, on étudie la suite définie par {u_0=x } et {u_{n+1}=u_n+u_n^2}.
Puissances et racines de matrices
(Oral Centrale Mp)
Pour {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}, calcul de {A^n,\,n\in\mathbb{Z}} de {A^{1/n}}, de {\exp(A)}
Pour {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}, calcul de {A^n,\,n\in\mathbb{Z}} de {A^{1/n}}, de {\exp(A)}
Accélération de convergence (Aitken)
(Oral Centrale Mp)
Accélération de la convergence d’une suite récurrente (méthode d’Aitken)
Accélération de la convergence d’une suite récurrente (méthode d’Aitken)
Étude de la suite n ⟼ (1+1/n)n+a
(oral Centrale Mp)
Pour tout réel {a}, on sait que la suite {n \mapsto (1+1/n)^{n+a}} tend vers e. Dans cet exercice, on étudie la monotonie de cette suite, et sa position par rapport à la limite e, en fonction du paramètre {a}.
Pour tout réel {a}, on sait que la suite {n \mapsto (1+1/n)^{n+a}} tend vers e. Dans cet exercice, on étudie la monotonie de cette suite, et sa position par rapport à la limite e, en fonction du paramètre {a}.
Les racines du polynôme dérivé
(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k)}
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k)}
Équivalents et sommes partielles
(Oral X-Cachan Psi)
Équivalents et sommes partielles.
Équivalents et sommes partielles.
La constante d’Euler
Dans cet exercice, on voit la définition de la constante d’Euler \gamma, et le développement : {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\ln(n)+\gamma+\dfrac{1}{2n}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}.
D’Alembert (ou pas)
Préciser la nature de {\displaystyle\sum u_n} et {\displaystyle\sum v_n}, où : {\begin{array}{rl}u_{n}&=\dfrac{2\cdot5\cdot8\cdots(3n\!-\!1)}{1\cdot5\cdot9\cdots(4n\!-\!3)}\\\\v_{n}&=\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\end{array}}
Série ∑(√n+a√(n+1)+b√(n+2))
Convergence (et somme éventuelle) de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\bigl(\sqrt{n}+a\sqrt{n\!+\!1}+b\sqrt{n\!+\!2}\bigr)}
Variations d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Dérivabilité et équivalent en +\infty de {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(nx+1)}}.
Dérivabilité et équivalent en +\infty de {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(nx+1)}}.
Équivalent d’une somme
(oral Ccp)
Trouver la constante K telle que {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{\sqrt k}\stackrel{n\rightarrow+\infty}{\sim}K\sqrt{n}}.
Trouver la constante K telle que {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{\sqrt k}\stackrel{n\rightarrow+\infty}{\sim}K\sqrt{n}}.
Sommes harmoniques et séries
(Oral Ccp)
On calcule {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}}.
On calcule {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}}.
Équivalents et séries numériques
(Oral Ccp)
Équivalent de {v_{n}=\displaystyle\sum_{q=n}^{+\infty}\dfrac{1}{q^{\alpha}}}, puis nature de {\displaystyle\sum \dfrac{v_{n^{2}}}{v_{n}}}.
Équivalent de {v_{n}=\displaystyle\sum_{q=n}^{+\infty}\dfrac{1}{q^{\alpha}}}, puis nature de {\displaystyle\sum \dfrac{v_{n^{2}}}{v_{n}}}.
Suite récurrente, calculs asymptotiques
(Oral Centrale)
Soit {x_{0}>0} et : {\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}.
On demande un développement asymptotique à deux termes de {x_n} en {+\infty}.
Soit {x_{0}>0} et : {\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}.
On demande un développement asymptotique à deux termes de {x_n} en {+\infty}.
Équa. diff. et développement limité
(Oral Tpe)
On considère l’équation différentielle {(E)\,\colon 2(x-1)y’ + y = \sin(2x) + x^{2}}.
Montrer que (E) admet une unique solution {f} sur {]-\infty,1[} vérifiant {f(0) = 0}.
Donner un développement de {f} à l’ordre {4} en {0}.
On considère l’équation différentielle {(E)\,\colon 2(x-1)y’ + y = \sin(2x) + x^{2}}.
Montrer que (E) admet une unique solution {f} sur {]-\infty,1[} vérifiant {f(0) = 0}.
Donner un développement de {f} à l’ordre {4} en {0}.
Équivalents et intégrales
(Oral Mines-Ponts)
Soit {\delta\in\,]\,0,1[}. Donner un équivalent de {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t} en {+\infty}.
Soit {\delta\in\,]\,0,1[}. Donner un équivalent de {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t} en {+\infty}.
Équivalents et polynômes
(oral Mines-Ponts)
Soit {P \in\mathbb{R} [X]}. Trouver un équivalent de {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P(k)} quand {n\to+\infty}.
Soit {P \in\mathbb{R} [X]}. Trouver un équivalent de {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P(k)} quand {n\to+\infty}.
Étude d’une suite récurrente
(Oral Mines-Ponts)
Étudier la suite définie par u_1\gt0 et : {\forall n\ge1,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+nu_{n}^{2}}}.
Étudier la suite définie par u_1\gt0 et : {\forall n\ge1,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+nu_{n}^{2}}}.
Une limite de somme
(Oral Mines-Ponts)
Soit {p \in\mathbb{R}}. Étudier la suite {n\mapsto S_{n}(p) = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{1+k^{p}}}.
Soit {p \in\mathbb{R}}. Étudier la suite {n\mapsto S_{n}(p) = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{1+k^{p}}}.
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