Calculs asymptotiques
Exercices corrigés

Suite définie par un intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que, pour tout

{n\in\mathbb{N}^{*}}

{\exists\,!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;\displaystyle\int_{1/n}^{u_{n}}\text{e}^{-x^{2}/2}\,\text{d}x=\dfrac{1}{10n}}

Montrer que la suite

{\left(u_{n}\right)}

est convergente.
Donner un équivalent de

{u_{n}}

quand

{n\to+\infty}

➡️

Analyse d’une suite implicite

(Oral Mines-Ponts)
On se donne un réel

{c\in\mathbb{R}^{+*}}

.
Soit

{(E) :x\sin x = c\cos x}

, d’inconnue

{x\in\mathbb{R}^{+*}}

.
Montrer que (E) a une unique solution

{x_n}

dans chaque

{I_{n}=\big]n\pi ,\,n\pi\!+\!\pi/2\big[}

(

{n\in\mathbb{N}}

).
Développer

{x_{n}}

à la précision

{\dfrac{1}{n^3}}

➡️

Développement d’une suite implicite

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que :

{\forall\,n\!\in\!\mathbb{N}^{*},\;\exists\,!\,x_{n}\!>\!0,\;x_{n}^{n}+x_{n}=3}

.
Développer

{x_{n}}

à la précision

{\dfrac{1}{n^2}}

➡️

Deux suites récurrentes

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{\left(r_{n}\right)_{n\ge0}}

une suite de

{\mathbb{R}^{+*}}

de limite

{r>0}

.
On pose

{\begin{cases}a_{0}=1\\b_{0}=1\end{cases}}

{\begin{cases}(1) :a_{n+1}=a_{n}\!+\!b_{n}/2\\(2) :b_{n+1}=r_{n}\left(4a_{n}\!+\!b_{n}\right)\end{cases}}

Justifier que

{\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }

.
On suppose que

{n\mapsto q_{n}=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}}

est monotone.
Donner sa limite, et

{k>0}

tel que

{b_{n}\stackrel{+\infty}{\sim}ka_{n}}

➡️

Récurrences croisées

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{\alpha ,\beta}

dans

{\mathbb{R}^{+*}}

. On pose

{a_{1}=b_{1}=1}

puis :

{\begin{array}{l}(1) : a_{n+1}=a_{n}+\beta b_{n}\\[6pt](2) : b_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\left(\alpha a_{n}+b_{n}\right)\end{array}}

Justifier que

{\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }

.
On suppose que

{n\mapsto a_{n+1}/a_{n}}

est monotone.
Montrer qu’elle converge et que

{b_{n}\stackrel{_{+\infty}}{\sim}\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}a_{n}}

➡️

Suite implicite et série

(Oral Inp)
Pour

{n\ge2}

, on pose

{f_{n}(x)=\text{e}^{x}+x-n}

.
Montrer que :

{\exists!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;f_{n}(u_{n})=0}

.
Déterminer un équivalent de

{u_{n}}

.
on pose

{v_{n}=u_{n}-a\ln(n)-\dfrac{b}{n}\ln(n)}

.
Trouver

{a,b}

tels que

{\displaystyle\sum v_{n}}

converge.

➡️

Calcul de la limite d’une somme de….

(Oral Tpe)
On pose

{u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{n}{k^{2}}e^{-n/k}}

.
Déterminer la limite de

{u_n}

quand

{n\to+\infty }

➡️

Une recherche d’équivalent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a,b)\in(\mathbb{R}^{+*})^2}

.
Montrer que :

{\displaystyle\prod_{k=1}^n (a+kb)^{1/n}\sim b(n!)^{1/n}}

➡️

Un calcul d’équivalent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a,b)\in(\mathbb{R}^{+*})^2}

.
Montrer :

{\displaystyle\prod_{k=1}^n (a+kb)^{1/n}\sim b(n!)^{1/n}}

➡️

Équivalence d’équivalents

(oral Centrale)
Pour toute suite réelle

{(u_{n})}

, on étudie la propriété (P) suivante :

{u_{n}\sim \dfrac{1}{n}\Leftrightarrow u_{n}+u_{n-1}\sim \dfrac{2}{n}}

➡️

Équivalent d’une somme alternée

(Oral Mines-Ponts)
Calculer un équivalent de

{b_{n}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k}\sqrt{k}}

➡️

Convergence cubique d’un produit infini

(Oral Centrale Mp)
Convergence cubique d’un produit infini

➡️

Une suite récurrente paramétrée

(Oral Centrale)
Pour

{x\gt0}

, on étudie la suite définie par

{u_0=x }

{u_{n+1}=u_n+u_n^2}

➡️

Puissances et racines de matrices

(Oral Centrale Mp)
Pour

{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}

, calcul de

{A^n,\,n\in\mathbb{Z}}

{A^{1/n}}

, de

{\exp(A)}

➡️

Accélération de convergence (Aitken)

(Oral Centrale Mp)
Accélération de la convergence d’une suite récurrente (méthode d’Aitken)

➡️

Étude de la suite n ⟼ (1+1/n)^n+a

(oral Centrale Mp)
Pour tout réel

{a}

, on sait que la suite

{n \mapsto (1+1/n)^{n+a}}

tend vers e. Dans cet exercice, on étudie la monotonie de cette suite, et sa position par rapport à la limite e, en fonction du paramètre

{a}

➡️

Les racines du polynôme dérivé

(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de

{P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k)}

➡️

Équivalents et sommes partielles

(Oral X-Cachan Psi)
Équivalents et sommes partielles.

➡️

La constante d’Euler

Dans cet exercice, on voit la définition de la constante d’Euler

\gamma

, et le développement :

{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\ln(n)+\gamma+\dfrac{1}{2n}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}

➡️

D’Alembert (ou pas)

Préciser la nature de

{\displaystyle\sum u_n}

{\displaystyle\sum v_n}

, où :

{\begin{array}{rl}u_{n}&=\dfrac{2\cdot5\cdot8\cdots(3n\!-\!1)}{1\cdot5\cdot9\cdots(4n\!-\!3)}\\\\v_{n}&=\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\end{array}}

➡️