Calcul matriciel

Produit de Kronecker

(Oral Centrale 2018)
Dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} on pose :{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ lorsque\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}.
Montrer qu’on a toujours {F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}.
Déterminer le rang, la trace et le déterminant de {F(A,B)}.
A-t-on {A,B} diagonalisables {\Rightarrow F(A,B)} diagonalisable? Réciproque?