Algèbre linéaire

Exercices corrigés

Moyenne de permutations

(Oral Centrale)
Soit {(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})} la base canonique de {\mathbb{R}^{n}}, et S_n l’ensemble des permutations de [[1,n]].
Pour {\sigma\in S_{n}} soit {f_{s}\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})} définie par {\forall i\in[[1,n]],\;f_{s}(e_{i})=e_{s(i)}}.
Identifier {p_{n}= \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{s\in S_{n}}f_{s}}.

Forme linéaire, matrices semblables

(Oral Mines-Ponts)
Soit {\varphi} une forme linéaire sur {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}.
1. Montrer : {\exists\,!\,\,A,\;\forall\, M,\;\varphi(M)=\text{tr}(AM)}
2. On suppose : {\forall M,\,\forall P \in \text{GL}_{n},\varphi(P^{-1}MP)=\varphi(M)}\quadMontrer : {\exists\,\lambda\in\mathbb{C},\;\forall\, M,\;\varphi(M) = \lambda\,\text{tr}(M)}.