Suite définie par un intégrale

(Oral Mines-Ponts)

  1. Soit {J=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-x^{2}/2}\,\text{d}x}. Montrer que {J>\dfrac{1}{10}}.
  2. Montrer que, pour tout {n\in\mathbb{N}^{*}} : {\exists\,!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;\displaystyle\int_{1/n}^{u_{n}}\text{e}^{-x^{2}/2}\,\text{d}x=\dfrac{1}{10n}}Montrer que la suite {\left(u_{n}\right)} est convergente.
  3. Donner un équivalent de {u_{n}} quand {n\to+\infty}.

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