Fonctions vectorielles (3/4)

On va utiliser un développement limité pour décrire la forme d’un arc plan {t\mapsto M(t)} au voisinage de {M(t_{0})}.
Dans la pratique, on n’aura besoin d’utiliser cette méthode que si {M(t_{0})} n’est pas régulier, c’est-à-dire si le vecteur vitesse {M'(t_{0})} est nul.

On effectue un développement limité de {t\mapsto x(t)} et {t\mapsto y(t)}, en {t_0}, à un ordre {q} « suffisant »: {\begin{cases} x(t_{0}+h)=x(t_0)\!+\!a_{1}h\!+\!a_{2}h^{2}\!+\!\cdots+a_{q}h^{q}\!+\!\text{o}(h^{q})\\[3pt]y(t_{0}+h)=y(t_0)\!+\!b_{1}h\!+\!b_{2}h^{2}\!+\!\cdots+b_{q}h^{q}\!+\!\text{o}(h^{q}) \end{cases}}On regroupe en un développement vectoriel : {M(t_{0}+h)=M(t_{0})\!+\!h\overrightarrow{U}_{1}\!+\!h^{2}\overrightarrow{U}_{2}\!+\!\cdots\!+\!h^{q}\overrightarrow{U}_{q}\!+\!\text{o}(h^{q})\quad(\star)}Dans cette notation, il faut comprendre {\overrightarrow{U}_{k}=(a_{k},b_{k})}.
On a {\begin{cases}a_{1}=x'(t_{0})\cr b_{1}=y'(t_{0}) \end{cases}}, {a_{2}=\dfrac{x''(t_{0})}{2}} et {b_{2}=\dfrac{y''(t_{0})}{2}}.
On en déduit {U_{1}=M'(t_{0})} et {U_{2}=\dfrac{1}{2}M''(t_{0})}.

• on note {p} le plus petit entier de {\mathbb{N}^{*}} tel que {\overrightarrow{U}_{p}\ne0} ({p=1} si {M(t_{0})} est régulier)
• on note {q} le plus petit entier strictement supérieur à {p} tel que {\overrightarrow{U}_{p}} et {\overrightarrow{U}_{q}} soient libres;
• c’est la recherche de {p} et {q} qui dit l’ordre auquel doit être poussé le développement {(\star)}.

Avec ces notations, le développement s’écrit :{M(t_{0}\!+\!h)=M(t_{0})\!+\!h^{p}\overrightarrow{U}_{p}\!+\!\cdots\!+\!h^{q}\overrightarrow{U}_{q}\!+\!\text{o}(h^{q})\ (\star')}Les pointillés désignent ici des vecteurs colinéaires à {\overrightarrow{U}_{p}}.

Par définition, la tangente à l’arc en {M(t_{0})} est, si elle existe, la position limite (quand {h} tend vers {0}) de la corde passant par {M(t_{0})} et {M(t_{0}+h)}.

Une conséquence importante de l’égalité {(\star')} est : {\;\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{1}{h^{p}}\overrightarrow{M(t_{0})M(t_{0}+h)}=\overrightarrow{U}_{p}}Mais {\dfrac{1}{h^{p}}\overrightarrow{M(t_{0})M(t_{0}+h)}} dirige la corde passant par {M(t_{0})} et {M(t_{0}+h)}.

La tangente en {M(t_{0})} est donc la droite passant par {M(t_{0})} et dirigée par {U_{p}=\dfrac{1}{p!}M^{(p)}(t_{0})}.

Quand {p=1}, on retouve que le vecteur {U_{1}=M'(t_{0})\ne0} dirige la tangente en {M(t_{0})}.
Plus généralement, la tangente en un point {M(t_{0})} d’un arc plan est dirigée par le premier vecteur dérivé non nul en ce point (le développement {(\star')} est en général obtenu par des opérations sur des développements limités usuels).

Plaçons-nous (avec les notations précédentes) dans le repère d’origine {M(t_{0})} et de base {\overrightarrow{U}_{p},\overrightarrow{U}_{q}}. on note {X(t),Y(t)} les coordonnées de {M(t)} dans ce repère.

Quand {h\to 0} (donc quand {t\to t_{0}}), {(\star')} donne : {\begin{cases}X(t_{0}+h)=h^{p}+\text{o}(h^{p})\sim h^{p}\\Y(t_{0}+h)=h^{q}+\text{o}(h^{q})\sim h^{q}\end{cases}}Ce résultat permet, en fonction de la parité de {p} et {q},
et de la position de {t} par rapport à {t_0}, de placer le point {M(t)} dans les différents quadrants du repère {(M(t_0),\overrightarrow{U}_{p},\overrightarrow{U}_{q})}.

On va maintenant voir les différents cas possibles.
Dans les schémas ci-dessous, on a représenté une portion du support de l’arc, au voisinage du point de {M(t_0)}. L’arc est « orienté » dans le sens des {t} croissants.

Dans chaque cas, on a représenté un tableau des signes de {X(t)} et {Y(t)} au voisinage de {t=t_{0}}, ce qui permet de suivre les déplacements de {M(t=t_{0}+h)} selon son appartenance aux différents quadrants du repère {(M_{0},X,Y)} (on rappelle que {\overrightarrow{U}_{p}} dirige {M_{0}X}, que {\overrightarrow{U}_{q}} dirige l’axe {M_{0}Y}, et {M_{0}X} est la tangente en {M_{0}} à l’arc).
On classé les cas selon une sorte de « probabilité décroissante ».

• {p} est impair et {q} est pair :
  On trouve le cas usuel {p=1} et {q=2},
  c’est-à-dire {OM'(t_{0})} et {OM''(t_{0})} libres.
  Le vecteur {OM''(t_{0})} est alors dirigé dans la concavité de la courbe.
  
• {p} est impair, et {q} est impair :
  Le cas usuel est {p=1}, {q=3}, donc {OM'(t_{0})\ne0} et {OM''(t_{0})} lié à {OM'(t_{0})}
  La courbe « traverse » sa tangente. {M_0} est un point d’inflexion.
  
• {p} est pair, et {q} est impair :
  Le plus souvent {p=2}, {q=3}.
  On dit que le point {M_0} est un rebroussement de première espèce
  
• {p} est pair, et {q} est pair :
  Le plus souvent {p=2}, {q=4}.
  On dit que le point {M_0} est un rebroussement de seconde espèce.
  Une étude supplémentaire distinguera les deux branches de l’arc.

On retiendra que le cas usuel est {p=1}, {q=2}, c’est-à-dire quand {OM'(t_{0})} et {OM''(t_{0})} sont libres : c’est ce qu’on appelle un point birégulier}.
Rappelons qu’alors {OM''(t_{0})} est dirigé dans la concavité de l’arc, ce est logique si on considère le mouvement d’un point {M(t)} de masse {m} provoqué par une force {\overrightarrow{F}(t)=m\,\overrightarrow{OM}''(t)}.

Avec les notations précédents, les points d’inflexion sont caractérisés par la condition « {p,q" impairs.
En un tel point {M(t)}, les vecteurs {OM'(t)} et {OM''(t)} sont nécessairement liés.
Les inflexions sont les points où {\Delta(t)=\begin{vmatrix}x'(t)& x''(t)\\ y'(t)&y''(t)\end{vmatrix}} s’annule en changeant de signe.
On trouve {\Delta(t)=x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)= -x'^2(t)m'(t)}, où on a posé {m(t)=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}}.
Cette quantité {m(t)} représente le coefficient directeur de la tangente à l’arc au point {M(t)}, du moins quand {x'(t)\ne0} (donc en un point régulier, et avec une tangente non verticale).
L’étude de {t\mapsto m(t)} donne des indications intéressantes sur la façon dont varie le coefficient directeur de la tangente au point courant. En particulier, l’étude des extremums de {m(t)} permet de déterminer (si nécessaire) les éventuels points d’inflexions de l’arc.