Partie I | Partie II
Le but du problème est la résolution de l’équation {(1):\ ax^3+bx^2+cx+d=0} où {(a,b,c,d)\in\mathbb{C}^4,\ a\ne0}.
Partie II. ({a,b,c,d} réels)
Dans toute cette partie, on suppose {a,b,c,d} réels.
On pose {\Delta=4p^3+27q^2}.
| Question II.1.(a) Si {\Delta>0} montrer que {(1)} a une racine réelle et deux racines complexes conjuguées. |
| Question II.1.(b) Si {\Delta\lt 0}, montrer que {(1)} a trois racines réelles. |
| Question II.1.(c) Si {\Delta=0}, montrer que {(1)} a une racine réelle simple et une racine réelle double. |
| Question II.2 On suppose que {\Delta=4p^3+27q^2\lt 0}. Montrer que {\alpha=r(\cos\,\theta+i\sin\,\theta)}, avec :{r=\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\;\text{et}\;\cos3\,\theta=\dfrac{3q}{2p}\sqrt{-\dfrac{3}{p}}}Si {\varphi} est tel que {\cos\varphi=\cos3\,\theta}, donner les solutions de {(1)} en fonction de {\varphi,p,a,b}. |
| Question II.3.(a) Trouver les solutions, à {10^{-3}} près, de :{8x^3-12x^2-18x+19=0} |
| Question II.3.(b) Résoudre {8x^3+12x^2-18x+5=0}. |
| Question II.3.(c) Résoudre {x^3+6x^2+10x+8=0}. |
| Question II.4 On suppose toujours que {p} et {q} sont réels. En étudiant l’application {f :y\mapsto y^3+py+q}, retrouver les résultats de la question {(9)}, c’est-à-dire la nature des solutions de l’équation {(2)} en fonction du signe de {\Delta=4p^3+27q^2} (on ne cherchera pas ici à retrouver l’expression de ces solutions). |