L’équation du troisième degré (2/2)

Partie I | Partie II


Le but du problème est la résolution de l’équation {(1):\ ax^3+bx^2+cx+d=0}{(a,b,c,d)\in\mathbb{C}^4,\ a\ne0}.

Partie II. ({a,b,c,d} réels)

Dans toute cette partie, on suppose {a,b,c,d} réels.

On pose {\Delta=4p^3+27q^2}.

Question II.1.(a)
Si {\Delta>0} montrer que {(1)} a une racine réelle et deux racines complexes conjuguées.
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Question II.1.(b)
Si {\Delta\lt 0}, montrer que {(1)} a trois racines réelles.
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Question II.1.(c)
Si {\Delta=0}, montrer que {(1)} a une racine réelle simple et une racine réelle double.
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Question II.2
On suppose que {\Delta=4p^3+27q^2\lt 0}.
Montrer que {\alpha=r(\cos\,\theta+i\sin\,\theta)}, avec :{r=\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\;\text{et}\;\cos3\,\theta=\dfrac{3q}{2p}\sqrt{-\dfrac{3}{p}}}Si {\varphi} est tel que {\cos\varphi=\cos3\,\theta}, donner les solutions de {(1)} en fonction de {\varphi,p,a,b}.
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Question II.3.(a)
Trouver les solutions, à {10^{-3}} près, de :{8x^3-12x^2-18x+19=0}
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Question II.3.(b)
Résoudre {8x^3+12x^2-18x+5=0}.
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Question II.3.(c)
Résoudre {x^3+6x^2+10x+8=0}.
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Question II.4
On suppose toujours que {p} et {q} sont réels.
En étudiant l’application {f :y\mapsto y^3+py+q}, retrouver les résultats de la question {(9)}, c’est-à-dire la nature des solutions de l’équation {(2)} en fonction du signe de {\Delta=4p^3+27q^2} (on ne cherchera pas ici à retrouver l’expression de ces solutions).
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