Un endomorphisme de polynômes

Soient {n} dans \mathbb{N}, {A,B} dans {\mathbb{C}[X]}, avec {A\ne0}, avec {\deg(B)= n+ 1}.
Soit {\varphi} l’endomorphisme de {\mathbb{C}_{n}[X]} qui à un polynôme P associe le reste de la division euclidienne de {AP} par {B}.

  1. Montrer que si {A} et {B} sont sans racine commune, alors {\varphi} est un isomorphisme.
  2. On suppose que toutes les racines de {B} sont simples.
    Que dire du spectre de {\varphi}? Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

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  1. Tout d’abord, on vérifie que {\varphi} est bien un endomorphisme de {\mathbb{C}_{n}[X]}.

    Puisque {\deg(B)=n+1}, il est clair que {\varphi(\mathbb{C}_{n}[X])\subset\mathbb{C}_{n}[X]}.

    Ensuite, soit {P_{1},P_{2}} dans {\mathbb{C}_{n}[X]}.

    Posons {\begin{cases}AP_{1}=Q_{1}B+R_{1}\\AP_{2}=Q_{2}B+R_{2}\end{cases}} avec {\begin{cases}\deg(R_{1})\le n\\\deg(R_{2})\le n\end{cases}}

    Avec ces notations : {\begin{cases}R_{1}=\varphi(P_{1})\\R_{2}=\varphi(P_{2})\end{cases}}

    Pour tous {\alpha,\beta} dans {\mathbb{C}}, on a :{\begin{cases}A(\alpha P_{1}+\beta P_{2})=(\alpha Q_{1}+\beta Q_{2})B+\alpha R_{1}+\beta R_{2}\\\deg(\alpha R_{1}+\beta R_{2})\le n\end{cases}}Ainsi {\varphi(\alpha P_{1}+\beta P_{2})=\alpha R_{1}+\beta R_{2}=\alpha\varphi(P_{1})+\beta\varphi(P_{2})}.

    L’application {\varphi} est donc un endomorphisme de \mathbb{C}_n[X].

    On suppose que A et {B} n’ont pas de racine commune.

    Soit {P} dans {\text{Ker}(\varphi)} (donc tel que {B} divise {AP}).

    Tout racine de {B} dans {\mathbb{C}} est ainsi racine de {AP}, donc de {P}, avec une multiplicité au moins égale. Le polynôme {P} admet alors au moins {n+1} racines (chacune comptée autant de fois que sa multiplicité) alors que {\deg(P)\le n}. La seule possibilité est {P=0}.

    Ainsi {\varphi} est un isomorphisme de {\mathbb{C}_{n}[X]}.

  2. On suppose que les racines de {B} sont {\alpha_{0},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}}, distinctes deux à deux.

    Soit {P\in\mathbb{C}_{n}[X]} un vecteur propre de {\varphi}, pour une valeur propre {\lambda}.

    Il existe donc {Q\in\mathbb{C}[X]} tel que {AP=QB+\lambda P} donc tel que {(A-\lambda)P=QB}.

    On en tire : {\forall\, k\in[\![ 0,n]\!],\;(A(\alpha_{k})-\lambda)P(\alpha_{k})=0}.

    Nécessairement, il existe {j\in[[ 0,n]]} tel que {\lambda=A(\alpha_{j})}, sans quoi {P} (qui est non nul de degré {n}) possèderait les {n+1} racines distinctes {\alpha_{k}}, ce qui est exclu.

    Dans ces conditions, et pour {k\in[[ 0,n]]\setminus\{j\}}, on a {P(\alpha_{k})=0}.

    Ainsi: {\exists\, \mu\in\mathbb{C},\;P=\mu\displaystyle\prod_{k\ne j}(X-\alpha_{k})}.

    Réciproquement, pour tout {j\in[[ 0,n]]}, posons {P_{j}=\displaystyle\prod_{k\ne j}(X-\alpha_{k})}.

    Par construction, le polynôme {(A-A(\alpha_{j})P_{j}} s’annule tous les {\alpha_{k}}, avec {k\in[[ 0,n]]}.

    Il existe donc {Q} dans {\mathbb{C}[X]} tel que {(A-A(\alpha_{j}))P_{j}=QB}.

    Autrement dit : {AP_{j}=QB+A(\alpha_{j})P_{j}}.

    Puisque {\deg(A(\alpha_{j})P_{j})\lt \deg(B)}, il en résulte {\varphi(P_{j})=A(\alpha_{j})P_{j}}.

    En résumé, les valeurs propres de {\varphi} sont les {\lambda_{j}=A(\alpha_{j})} pour {j\in[[ 0,n]]}

    (NB: rien n’indique que ces valeurs propres soient distinctes).

    Remarquons que la famille {(P_{j})_{0\le j\le n}} est libre (donc constitue une base de {\mathbb{C}_{n}[X]}).

    En effet si {\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\delta_{j}P_{j}(X)=0}, remplacer {X} par {\alpha_{k}} donne {\delta_{k}=0}.

    L’application {\varphi}, qui possède une base de vecteurs propres, est diagonalisable.

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