Probabilités, variables aléatoires

Exercices corrigés

Déplacements dans Z2

(Oral Centrale)
Un module, initialement en {(0,0)}, se déplace dans {\mathbb{Z}^2} dans l’une des directions (N,S,E,O) de manière équiprobable. On note {A_{n}=(X_{n},Y_n)} sa position à l’instant {n}, et {Z_{n}} sa distance à l’origine.
Donner {\text{E}(X_{n})}, {\text{V}(X_{n})}. Montrer que {\text{E}(Z_{n})\leq \sqrt{n}}, et calculer {\mathbb{P}(Z_{n}=0)}.

Tir au laser sur une bactérie

(Oral Ccem)
Toutes les secondes, on tire au rayon laser sur une bactérie. Chaque tir, indépendant du précédent, touche la bactérie avec la probabilité {p\in\,]0,1[}.
La bactérie meurt lorsqu’elle a été touchée par {r + 1} tirs de laser, avec {r\in\mathbb{N}^{*}}. Soit {X} la durée de vie de la bactérie. Déterminer sa loi, puis {\text{E}(X)}.

Un exercice très improbable

(Oral XCachan Psi)
Soit {X_1,X_2,Y} trois v.a.r. indépendantes.
On suppose {\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}, et {\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}
On pose {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Probabilité que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})?