Intégration sur un intervalle quelconque

Exercices corrigés

Intégrales généralisées

Prouver l’égalité {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(t)}{1-t^{2}}\,\text{d}t=-\dfrac{\pi^{2}}{8}}.

Prouver l’égalité {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{t\,\text{d}t}{\text{e}^{t}-1}=\dfrac{\pi^{2}}{6}}.

Intégrale de Gauss

Dérivabilité de {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\text{e}^{-(1+t^{2})x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t}.
En déduire {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\text{e}^{-u^{2}}\,\text{d}u=\sqrt{\pi}}.