Intégration sur un intervalle quelconque

Exercices corrigés

Une transformation de Laplace

(Oral Mines-Ponts)
Soit {f\in \mathcal{C}^{\infty }(\mathbb{R},\mathbb{C})} nulle pour {|x|\gt A}.
Montrer que {F(x)=\displaystyle\int_{\infty }^{+\infty }\!\!\!\!f(t)e^{-itx}dt} est {C^{\infty }} sur {\mathbb{R}}.
Montrer que : {\forall\, n\in \mathbb{N},\;\exists\, C_{n}\in \mathbb{R}},
{\forall\, x>0},{\ |F(x)|\leq \dfrac{C_{n}}{x^{n}}}

Encore une intégrale à paramètre

(Oral Centrale)
On pose {I(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^x \ln(t)}{t-1}\,\text{d}t}.

  1. Déterminer le dommaine {D} de la fonction {I}.
  2. Montrer que {I} est {\mathcal C^1} sur {D}.
  3. Calculer pour {I(x+1)-I(x)} pour {x\in D}.
  4. Déterminer la limite de {I} en {+\infty}.
  5. Donner un équivalent de {I} en {-1} et en {+\infty}

Primitives et limites comparées

(Mines-Ponts)
Soit {f\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})} . Pour {x\in \mathbb{R}^{+}}, on pose : {F(x)=\!\displaystyle\int_{0}^{x}\!\!f(t)\text{d}t\;\text{et}\;g(x)\!=\!f(x)\!+\!F(x)}On suppose que {f} a une limite finie en {+\infty }.
En est-il de même de {F}?
On suppose que {F} a une limite finie en {+\infty }.
En est-il de même de {f}?
On suppose que {g} a une limite finie en {+\infty }.
Déterminer la limite de {f} en {+\infty }.

Intégrale d’une fonction discrète

(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a_{n})} une suite strictement décroissante de limite {0}.
Pour {x>0}, soit {N(x)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{n\in \mathbb{N};\;a_{n}\geq x\}}.
Montrer que {N} est intégrable sur {]0,+\infty \lbrack } si
et seulement si la série {\displaystyle\sum a_{n}} converge.
Montrer qu’alors {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!N(x)\,\text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}.}