Probabilités : processus aléatoires

Deux suites de tirages monocolores

(Oral Mines-Ponts 2018)
Une urne contient une proportion {p\in\,]0,1[} de boules blanches et le reste de boules noires.
On effectue des tirages successifs avec remise.
On note {X_1,X_2} les longueurs des deux premières suites monocolores.
Donner la loi de {X_1}, son espérance, sa variance.
Donner la loi du couple {(X_1,X_2)}.
En déduire la loi de {X_2}, son espérance, sa variance.

Déplacements dans Z2

(Oral Centrale)
Un module, initialement en {(0,0)}, se déplace dans {\mathbb{Z}^2} dans l’une des directions (N,S,E,O) de manière équiprobable. On note {A_{n}=(X_{n},Y_n)} sa position à l’instant {n}, et {Z_{n}} sa distance à l’origine.
Donner {\text{E}(X_{n})}, {\text{V}(X_{n})}. Montrer que {\text{E}(Z_{n})\leq \sqrt{n}}, et calculer {\mathbb{P}(Z_{n}=0)}.

L’urne d’Ehrenfest, épisode 2

On reprend les notations et résultats de l’épisode 1.
On forme ici la matrice de transition associée à ce processus de Markov, et on l’interprète comme celle d’un endomorphisme \varphi de {\mathbb{R}_{N}[X]} dans la base canonique.
Si {t\mapsto G_{n}(t)} est la fonction génératrice de {X_{n}}, on voit que {G_{n+1}=\varphi(G_{n})}.
On retrouve alors la relation {\text{E}(X_{n+1})=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)\text{E}(X_{n})}.

L’urne d’Ehrenfest, épisode 1

Une urne contient {N} boules indiscernables au toucher, de couleur bleue ou rouge.
On répète la “manipulation” suivante : “tirer une boule au hasard de l’urne et la remplacer par une boule de la couleur opposée
On note {X_{n}} le nombre de boules bleues après la {n}-ième manipulation. Dans cette partie, on calcule {\text{E}(X_{n})} et sa limite quand {n\rightarrow+\infty}.