Exercices de 2nde année
Chapitre 06. Séries numériques

Des milliers de décimales de π

Soit x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}p_k\,u_k, où {u_k=\dfrac{(k!)^2\,2^{k}}{(2k+1)!}}.
Ce développement est dit régulier si {\begin{cases}\forall k\ge1,\; 0\le p_k\le 2k\\\forall n\ge1,\;\exists m\ge n, p_m\lt 2k\end{cases}}On étudie la convergence de ces développements, et un algorithme réduisant (par reports de retenues) à sa forme régulière le développement de 10^nx, avec n\in\mathbb{N}. On en déduit une fonction Python donnant des milliers de décimales de \pi.

Série et produit infini

(Oral Mines-Ponts)
Soit {x\in\,\mathbb{R}^{+*}}. On pose : {u_{n}=\dfrac{n!}{x^{n}}\,\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{x}{k}\Bigr)}.
Préciser {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n(x)}.
Étudier la convergence de {\displaystyle\sum\Bigl(v_{n}-\alpha\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)\Bigr)}.
En déduire qu’il existe {A > 0} tel que {u_{n}\underset{+\infty}{\sim} An^{\alpha}}.