Exercices de 2nde année
Chapitre 05. Espaces vectoriels normés

Question de point fixe

Soit {(E,\|\;\|)} un espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit {K\subset E} un fermé borné non vide.
Soit {f:K\rightarrow K} telle que : {\forall (x,y)\in K^2}, {x\ne y} {\Rightarrow} {\|f(x)-f(y)\|\lt \|x-y\|}.
1. Montrer qu’il existe un unique {c\in K} tel que {f(c)=c}.
2. Soit {x_0\in K}. On pose: {\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n+1}=f(x_n)}.
\quadMontrer que la suite {(x_n)_{n\ge0}} converge vers {c}.

Exp(A), avec A antisymétrique

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2015)
Soient {(a, b, c)\in\,\mathbb{R}^{3}} et {A =\begin{pmatrix}0&-c&b\\ c& 0& a\\-b&-a&0\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}.
1. Montrer qu’il existe {\,\theta\in\mathbb{R}} tel que {A^{3}=-\,\theta A}.
2. Montrer que : {\forall\, n\in\,\mathbb{N}^{*},\;A^{2n}=(-\,\theta)^{n-1}A^{2}}.
3. On pose {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}A^{k}}. Montrer que {S_{\infty}= \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}} existe.
\quadCalculer {(\alpha,\beta) \in\,\mathbb{R}^{2}} tels que {S_{\infty} = I_{3} + \alpha A + \beta A^{2}}.