Endomorphismes de matrices

Un endomorphisme de matrices

(Oral Centrale)
Soient {A,B} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et \varphi défini par : {\forall\, M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, {\varphi(M)=AM-MB}.
Montrer que si {\alpha\in\text{Sp}(A)} et {\beta\in\text{Sp}(B)}, alors {\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}.
Si {\varphi(M)=\lambda M}, montrer que : {\forall\, P\in \mathbb{R}[X],\;P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}.

Diagonalisation de M->AM+MB

(Oral X-Cachan Psi)
Soient {A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, diagonalisables dans \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).
Soit \varphi_{A,B} l’endomorphisme de \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) défini \varphi_{A,B}(M)=AM+MB.
Dans cet exercice, on montre (de deux manières différentes) que l’endomorphisme \varphi_{A,B} est diagonalisable et on en donne une base de diagonalisation.