Réduction. Éléments propres

Puissances de A à spectre simple

(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} admettant {n} valeurs propres distinctes. Montrer qu’il existe {\begin{cases}(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})\in\mathbb{R}^n\\M_{1},\ldots,M_{n}\in\textrm{Vect}(I_{n},A,A^{2},\ldots,A^{n-1})\end{cases}}
tels que : {\forall p\in\mathbb{N},\;A^{p}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha _{k}^{p}M_{k}}.

Un endomorphisme de matrices

(Oral Centrale)
Soient {A,B} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et \varphi défini par : {\forall\, M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, {\varphi(M)=AM-MB}.
Montrer que si {\alpha\in\text{Sp}(A)} et {\beta\in\text{Sp}(B)}, alors {\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}.
Si {\varphi(M)=\lambda M}, montrer que : {\forall\, P\in \mathbb{R}[X],\;P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}.