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Une approximation quadratique

Pour P,Q dans \mathbb{R}[X], on pose {\left(P\mid Q\right)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!P(t)Q(t)\text{e}^{-t}\,\text{d}t}.

  1. Montrer que c’est un produit scalaire. Calculer {\left({X^{i}}\mid{X^{j}}\right)} pour {(i,j)\in\mathbb{N}^{2}.\phantom{\biggl|}}
  2. On définit {f\colon (a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\in\,\mathbb{R}^n\mapsto{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}}\Bigl(1-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}t^{k}\Bigr)^{2}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}.
    Montrer que f possède un minimum sur {\mathbb{R}^{n}}, et le calculer.

Un orthogonal non supplémentaire

On munit {E=\mathscr{C}([-1,1],\mathbb{R})} du produit scalaire {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(t)g(t)\text{d}t}.
Avec {\begin{cases}F=\{f\in E,\;\forall t\in[-1,0],\;f(t)=0\}\\G=\{g\in E,\;\forall t\in[0,1],\;g(t)=0\}\end{cases}}, montrer que {\begin{cases}F^{\bot\!}=G\\G^{\bot\!}=F\end{cases}}.
Montrer pourtant que F et G ne sont pas supplémentaires dans E.

Une urne bicolore

Une urne contient {a} boules blanches et {b} boules noires. On retire une à une et sans remise les boules de l’urne. Soit {X} la variable aléatoire indiquant le nombre de tirages effectués jusqu’au retrait des {a} boules blanches. Déterminer la loi de {X}. Calculer {\text{E}(X)} et {\text{V}(X)}.

Série et produit infini

Soient {x\in\,\mathbb{R}^{+*}} et, pour {n\in\,\mathbb{N}^{*}}, {u_{n}=\dfrac{n!}{x^{n}}\,\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{x}{k}\Bigr)}.

  1. Préciser la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\bigl(\ln(u_{n+1})-\ln(u_{n})\bigr)}. En déduire {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n(x)}.
  2. Trouver {\alpha\in\mathbb{R}} tel que la série de terme général {v_{n}-\alpha\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)} converge.
  3. En déduire qu’il existe un réel {A > 0} tel que {u_{n}\sim An^{\alpha}} quand {n\to+\infty}.