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Ker(u+v) et Im(u+v) pour u,v dans S+(E)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {E} euclidien, et {u\in S^{+}(E)} l’ensemble des endomorphismes symétriques à spectre inclus dans {\mathbb{R}^{+}}.
Soit {u}, {v\in S^{+}(E)}. Montrer que {\text{Ker}(u+v)=\text{Ker}(u)\cap\text{Ker}(v)} et {\text{Im}\,(u+v)=\text{Im}\,(u)+\text{Im}\,(v)}.