Suites particulières

Plan du chapitre "Suites numériques"

Suites arithmétiques

On note toujours {\mathbb{K} =\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}.

Définition (définition des suites arithmétiques)
Une suite {(u_n)_{n\ge0}} est dite arithmétique s’il existe un scalaire {r} tel que : {\forall\, n\in\mathbb{N},u_{n+1}=u_n+r}.
Le scalaire {r} est appelé raison de la suite arithmétique. Il est défini de façon unique.
Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a : {u_n=u_0+nr}.

Quelques propriétés des suites arithmétiques

  • Soit {(u_{n})_{n\ge0}} une suite arithmétique de raison {r}.
    Si {\mathbb{K}=\mathbb{R}} et si {r>0} (resp. {r\lt 0}), elle est strictement croissante (resp. strictement décroissante).
    Pour tous {n,p} de {\mathbb{N}}, on a : {u_n=u_p+(n-p)r}.
  • Une suite arithmétique {u} n’est convergente que si sa raison {r} est nulle (et alors {u} est constante).
  • Réciproquement, on suppose que le terme général d’une suite {(u_n)_{n\ge0}} s’écrit {u_n=a+nb}.
    Alors la suite {(u_n)_{n\ge0}} est arithmétique de premier terme {u_0=a} et de raison {b}.
  • Soit {S} la somme de {n} termes consécutifs d’une suite arithmétique.
    Soit {d} le terme débutant, et {f} le terme finissant cette progression : alors {S=n\dfrac{d+f}{2}}.
Proposition (caractérisation des suites arithmétiques)
Une suite {(u_n)_{n\ge0}} est arithmétique si et seulement si : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_n+u_{n+2}=2u_{n+1}}.
Démonstration
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On dit que {a}, {b}, {c} sont en progression arithmétique s’ils sont consécutifs dans une suite arithmétique.
Cela équivaut à dire que {a+c=2b}.

Suites géométriques

Définition (définition des suites géométriques)
Une suite {(u_n)_{n\ge0}} est dite géométrique s’il existe un scalaire {q} tel que : {\forall\, n\in\mathbb{N},u_{n+1}=q\,u_n}.
Le scalaire {q} est appelé raison de la suite géométrique. Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a : {u_n=q^n\,u_0}.

Remarques générales

  • Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite géométrique de raison {q}.
    Si {u_{0}=0}, la suite {(u_n)_{n\ge0}} est identiquement nulle, et {q} est quelconque.
    Si {u_{0}\ne 0}, le scalaire {q} est défini de façon unique par {q=u_{1}/u_{0}}.
    Si {q=1}, la suite {u} est constante. Si {q=0} elle est stationnaire en {0} (à partir de {n=1}).
    Enfin si {u_{0}\ne 0} et {q\ne 0}, aucun terme de la suite {u} n’est nul.
  • Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite géométrique de raison {q}.
    Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a : {u_n=q^n\,u_0}, et pour {p\le n} dans {\mathbb{N}}, on a : {u_n=u_p\,q^{n-p}}.
  • Réciproquement, si le terme général d’une suite {(u_n)_{n\ge0}} s’écrit {u_n=aq^n}, alors {(u_n)_{n\ge0}} est la suite géométrique de premier terme {u_0=a} et de raison {q}.

Monotonie des suites géométriques réelles

On suppose ici {\mathbb{K}=\mathbb{R}}. Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite géométrique de raison {q}.

  • Si {q>0}, la suite {u} garde un signe constant et est monotone. Plus précisément :

    • si {u_0>0} et {q>1}, la suite {u} est positive strictement croissante.
    • si {u_0>0} et {0\lt q\lt 1}, la suite {u} est positive strictement décroissante.
    • si {u_0\lt 0} et {q>1}, la suite {u} est négative strictement décroissante.
    • si {u_0\lt 0} et {0\lt q\lt 1}, la suite {u} est négative strictement croissante.
  • Si {q\lt 0}, alors deux termes consécutifs {u_n} et {u_{n+1}} sont toujours de signes contraires.
    La suite {u} n’est donc pas monotone.
Proposition (caractérisation des suites géométriques)
Une suite {(u_n)_{n\ge0}} est géométrique si et seulement si : {\forall n\in\mathbb{N},\;u_n\,u_{n+2}=u_{n+1}^2}.
Démonstration
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On dit que trois scalaires {a}, {b}, {c} sont en progression géométrique s’ils sont des termes successifs d’une suite géométrique : cela équivaut à dire que {ac=b^2}.

Soit {S} la somme de {n} termes consécutifs d’une progression géométrique de raison {q\ne1}.
Soit {u_{0}} le premier terme de cette progression. Alors {S=u_{0}\dfrac{q^{n}-1}{q-1}}.

Proposition (convergence des suites géométriques)
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite géométrique de raison {q}, et de premier terme {u_{0}\ne 0}.
La suite {(u_{n})_{n\ge0}} est convergente si et seulement si {q=1\;\text{ou}\; \left|{q}\right|\lt 1}.
Si {q=1}, la suite {u} est constante. Si {\left|{q}\right|\lt 1}, la suite {u} converge vers {0}.

Suites arithmético-géométriques

Définition (suites arithmético-géométriques)
Une suite {(u_n)_{n\ge0}} est arithmético-géométrique si : {\exists\, (a,b)\in\mathbb{K}^{2},\;\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=au_n+b}

Expression du terme général

On se donne une suite arithmético-géométrique : {\forall\, n\in\mathbb{N},u_{n+1}=au_n+b}.

Si {b = 0} (resp. {a=1}) c’est une suite géométrique (resp. arithmétique).

Supposons {a\ne1} : soit {\lambda} l’unique scalaire vérifiant {\lambda=a\lambda+b}. Donc {\lambda=\dfrac b{1-a}}.
Si on soustrait les égalités {\begin{cases}u_{n+1}=au_n+b\cr \lambda=a\lambda+b\end{cases}} on obtient {u_{n+1}-\lambda=a(u_{n}-\lambda)}.

La suite {n\mapsto u_n-\lambda} est donc géométrique de raison {a} : {\forall\, n\in\mathbb{N},\; u_{n+1}-\lambda=a(u_n-\lambda)}.

On en déduit : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_n-\lambda= (u_0-\lambda)a^n}, donc {u_n=(u_0-\lambda)a^n+\lambda}.

Convergence des suites arithmético-géométriques

On se donne une suite arithmético-géométrique : {\forall\, n\in\mathbb{N},u_{n+1}=au_n+b}.

On suppose {a\ne1} (donc la suite {u} n’est pas arithmétique).

On pose {\lambda=\dfrac{b}{1-a}}. Si {u_{0}=\lambda}, alors la suite {u} est constante en {\lambda}.

En revanche, si {u_{0}\ne\lambda}, la suite {u} converge si et seulement si {\left|{a}\right|\lt 1}. Dans ce cas {\lim u_{n}=\lambda}.

Monotonie des suites arithmético-géométriques réelles

On se donne une suite arithmético-géométrique : {\forall\, n\in\mathbb{N},u_{n+1}=au_n+b} (avec {a,b} réels).

On suppose {a\ne1} (la suite {u} n’est pas arithmétique) et {a\ne0} (sinon la suite {u} est constante en {b}).

On pose {\lambda=\dfrac{b}{1-a}}, et on suppose {u_{0}\ne\lambda} (sinon la suite {u} est constante en {\lambda}).

On a {u_{n+1}-u_{n}=a(u_{n}-u_{n-1})}.

On en déduit : {u_{n+1}-u_{n}=a^{n}(u_{1}-u_{0})=a^{n}((a-1)u_{0}+b)}.

Ainsi {u} est monotone si {a>0} (strictement croissante si {u_{1}>u_{0}}, strictement décroissante sinon).

Suites récurrentes linéaires d’ordre 2

Dans tout ce qui suit, {\mathbb{K}=\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}.

Définition (récurrences linéaires d'ordre 2)
On dit qu’une {(u_{n})_{n\ge0}} de {\mathbb{K}} satisfait à une récurrence linéaire d’ordre {2} s’il existe {a,b,c} dans {\mathbb{K}}, avec {a\ne0} et {c\ne 0}, tels que : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;au_{n+2}+bu_{n+1}+cu_{n}=0\quad(E)}.
L’équation {(C):\ at^{2}+bt+c=0} (d’inconnue {t\in\mathbb{K}}) est dite équation caractéristique de {(E)}.

Remarques et exemple

  • On a supposé {a\ne0} et {b\ne0} pour ne pas retomber dans le cas des suites géométriques.
    La relation {(E)} fait donc réellement apparaître {u_{n+2}} et {u_{n}}.
  • On sait que les suites arithmétiques sont caractérisées par : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n}+u_{n+2}=2u_{n+1}}.
    Cette relation s’écrit : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n+2}-2u_{n+1}+u_{n}=0}.
    Dans ce cas, l’équation caractéristique est {t^{2}-2t+1=0}, de racine double {t=1}.
  • La “suite de Fibonacci” {(F_{n})_{n\ge0}} est définie par {\begin{cases}F_{0}=0\\ F_{1}=1\end{cases}} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}}.
    Dans ce cas, l’équation caractéristique est {(C):\ t^{2}-t-1=0}.
    Elle a les deux racines distinctes : {\Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}} (le “nombre d’or”) et {\Phi'=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}=-\dfrac{1}{\Phi}}.
Proposition (suites géométriques solutions)
Soit {\mathcal{S}_{E}} l’ensemble des suites de {\mathbb{K}} vérifiant {(E):\forall\, n\in\mathbb{N},\;au_{n+2}+bu_{n+1}+cu_{n}=0}.

  • Un élément {u} de {\mathcal{S}_{E}} est défini de façon unique par la donnée de ses deux premiers termes.
    L’ensemble {\mathcal{S}_{E}} est donc une famille de suites à deux paramètres.
  • Soit {q} un élément de {\mathbb{K}^{*}}. La suite géométrique {n\mapsto q^{n}} est élément de {\mathcal{S}_{E}} si et seulement si {q} est racine de l’équation caractéristique {(C):\ at^{2}+bt+c=0}

Démonstration
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Proposition (solution générale dans le cas complexe)
Soit {a,b,c} trois nombres complexes, avec {a\ne0} et {b\ne 0}.
Soit {\mathcal{S}_E} l’ensemble des suites de {\mathbb{C}} vérifiant {(E):\forall\, n\in\mathbb{N},\;au_{n+2}+bu_{n+1}+cu_{n}=0}.
Soit {\Delta=b^{2}-4ac} le discriminant de l’équation caractéristique {(C):\ at^{2}+bt+c=0}

  • Si {\Delta\ne0}, soit {r} et {s} les deux racines distinctes de l’équation caractéristique {(C)}.
    Alors {\mathcal{S}_E} est l’ensemble des suites {n\mapsto \lambda r^{n}+\mu s^{n}}, avec {\lambda,\mu} dans {\mathbb{C}}.
  • Si {\Delta=0}, soit {r} la racine double de l’équation caractéristique {(C)}.
    Alors {\mathcal{S}_E} est l’ensemble des suites {n\mapsto (\lambda n+\mu)r^{n}}, avec {\lambda,\mu} dans {\mathbb{C}}.

Démonstration
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Proposition (solution générale dans le cas réel)
Soit {a,b,c} trois nombres réels, avec {a\ne0} et {b\ne 0}.
Soit {\mathcal{S}_E} l’ensemble des suites de {\mathbb{R}} qui vérifient la relation {(E):\forall\, n\in\mathbb{N},\;au_{n+2}+bu_{n+1}+cu_{n}=0}.
Soit {\Delta=b^{2}-4ac} le discriminant de l’équation caractéristique {(C):\ at^{2}+bt+c=0}

  • Si {\Delta>0}, soit {r} et {s} les deux racines réelles distinctes de l’équation caractéristique {(C)}.
    Alors {\mathcal{S}_E} est l’ensemble des suites {n\mapsto \lambda r^{n}+\mu s^{n}}, avec {\lambda,\mu} dans {\mathbb{R}}.
  • Si {\Delta=0}, soit {r} la racine réelle double de l’équation caractéristique {(C)}.
    Alors {\mathcal{S}_E} est l’ensemble des suites {n\mapsto (\lambda n+\mu) r^{n}}, avec {\lambda,\mu} dans {\mathbb{R}}.
  • Si {\Delta\lt 0}, soit {r=\rho\text{e}^{i\,\theta}} et {\overline{r}=\rho\text{e}^{-i\,\theta}} les racines conjuguées distinctes de {(C)}, avec {\,\theta\ne0\ [\pi]}.
    Alors {\mathcal{S}_E} est l’ensemble des suites {n\mapsto (\lambda \cos(n\,\theta)+\mu\sin(n\,\theta)) \rho^{n}}, avec {\lambda,\mu} dans {\mathbb{R}}.

Démonstration
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