Suites extraites

Plan du chapitre "Suites numériques"

Notion de suite extraite

Définition
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite d’un ensemble {E} quelconque.
On appelle suite extraite de {u} toute suite {v} de terme général {v_n=u_{\varphi(n)}}, où {\varphi} est strictement croissante de {\mathbb{N}} dans lui-même.

Rappel : avec les notations de l’énoncé, et pour tout entier {n}, on a l’inégalité {\varphi(n)\ge n}.

On considère souvent :

  • la suite {(u_{2n})_{n\ge0}} des termes d’indices pairs : ici {\varphi(n)=2n}
  • la suite {(u_{2n+1})_{n\ge0}} des termes d’indices impairs : ici {\varphi(n)=2n+1}.

On utilise aussi l’expression “sous-suite de {u}” pour désigner une suite extraite de {u}.

Sous-suite d’une sous-suite

Soit {u=(u_n)_{n\ge0}} une suite d’un ensemble {E} quelconque.

Soit {v=(v_{n})_{n\ge 0}} une suite extraite de {u}, et soit {w=(w_{n})_{n\ge 0}} une suite extraite de {v}.
Alors {w} est une suite extraite de la suite {u}.

Ce résultat peut sembler évident, mais il y a quand même une subtilité.
Plus précisément, si {\varphi} et {\psi} sont deux applications strictement croissantes de {\mathbb{N}} dans lui-même telles que {v_{m}=u_{\varphi(m)}} et {w_{n}=v_{\psi(n)}} pour tous entiers naturels {m,n}, alors (en posant {m=\psi(n)}) :
{\forall\, n\in \mathbb{N}\,:\; w_{n}=v_{m}=u_{\varphi(m)}=u_{\varphi(\psi(n))}=u_{\,\theta(n)}\text{\ avec\ }\theta=\varphi\circ\psi\text{\ (et non pas\ }\psi\circ\varphi\text{!!)}}

Limites et suites extraites

Proposition (limite des suites extraites)
Si la suite {u=(u_n)_{n\ge0}} a pour limite {\ell}, alors toute suite extraite de {u} admet encore {\ell} pour limite.

Le fait qu’une suite extraite de {u} possède une limite {\ell} ne signifie pas que la suite {u} tende vers {\ell}, ni même possède une limite (mais tout de même, {\ell} devient la “seule limite possible” de {u}).

Si deux suites extraites de {u} ont des limites différentes, on est cependant certain que {u} n’a pas de limite. Cette remarque est souvent utilisée pour montrer qu’une suite {u} est divergente.

Proposition
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite de nombres réels.
On suppose que les suites {(u_{2n})} et {(u_{2n+1})} ont une même limite {\ell}. Alors {\lim u_{n}=\ell}.

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Ce résultat possède des conséquences théoriques importantes :

Proposition (théorème de Bolzano-Weierstrass)
De toute suite bornée de {\mathbb{R}}, on peut extraire une suite convergente.

Le théorème ne dit pas comment extraire une telle suite convergente, il dit simplement qu’elle existe.

Partie dense dans {\mathbb{R}}

Définition (définition de la densité)
Soit {A} une partie de {\mathbb{R}}.
On dit que {A} est dense si, pour tout intervalle ouvert non vide {I}, l’intersection {A\cap I} est non vide.

Remarque : il est clair que si {A} est dense dans {\mathbb{R}}, et si {A\subset B}, alors {B} est dense dans {\mathbb{R}}.

Proposition
Soit {A} une partie dense de {\mathbb{R}}, et soit {I}
intervalle ouvert non vide.
Alors l’intersection {A\cap I} est un ensemble infini.
Proposition (caractérisation séquentielle de la densité)
Soit {A} une partie de {\mathbb{R}}. Alors {A} est dense si et seulement si, pour tout réel {\alpha}, il existe une suite {(u_{n})_{n\ge0}} de {A} telle que {\lim u_{n}=\alpha}.
Proposition (exemples de parties denses de ℝ)
L’ensemble des nombres décimaux est une partie dense de {\mathbb{R}}.
L’ensemble des rationnels, et l’ensemble des irrationnels, sont des parties denses de {\mathbb{R}}.

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