Limites des suites monotones

Plan du chapitre "Suites numériques"

Théorème de la suite monotone

Proposition (limite d'une suite réelle croissante)
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite croissante de nombres réels.
Si cette suite est majorée, alors elle est convergente.
Plus précisément, {\lim u_n=\sup\{u_n,n\ge0\}}.
Si au contraire cette suite n’est pas majorée, alors {\lim\,u_n=+\infty}.

On retiendra le “théorème de la suite monotone” : toute suite réelle monotone possède une limite.

En considérant la suite de terme général {(-u_n)_{n\ge0}}, on en déduit le résultat suivant:

Proposition (limite d'une suite réelle décroissante)
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite décroissante de nombres réels.
Si cette suite est minorée, alors elle est convergente.
Plus précisément, {\lim u_n=\inf\{u_n,n\ge0\}}.
Si au contraire cette suite n’est pas minorée, alors {\lim u_n=-\infty}.

Le résultat suivant constitue une sorte de réciproque des deux propositions précédentes:

Proposition
Soit {X} une partie non vide majorée de {\mathbb{R}}.
Alors il existe une suite {u} d’éléments de {X} telle que {\lim u_{n}=\sup X}.
On peut même faire en sorte que la suite {u} soit croissante.
De même, si {X} est non vide minorée, il existe une suite décroissante {u} de {X} telle que {\lim u_{n}=\inf X}.

Penser à étudier la monotonie

L’étude d’une suite réelle passe très souvent par celle de sa monotonie.

C’est donc un réflexe utile que de vérifier si la suite étudiée est croissante ou décroissante.

En général, on étudiera pour cela le signe de la différence {u_{n+1}-u_{n}}.

Mais si le terme général {u_n} s’exprime sous forme de produits, de puissances ou de factorielles, il pourra être plus simple de comparer le rapport {u_{n+1}/u_n} avec la valeur {1} (attention au signe de {u_n} avant de conclure!).

Suites adjacentes

Définition (suites adjacentes)
On dit que deux suites réelles {(u_n)_{n\ge0}} et {(v_n)_{n\ge0}} sont adjacentes si l’une d’elles est croissante, si l’autre est décroissante, et si {\lim (v_n-u_n)=0}.
Proposition (théorème des suites adjacentes)
Soient {(u_n)_{n\ge0}} et {(v_n)_{n\ge0}} deux suites réelles adjacentes.
Alors ces deux suites sont convergentes et elles ont la même limite.

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