Limite d’une suite réelle

Plan du chapitre "Suites numériques"

Limite finie ou infinie

Définition
Soit {u=(u_n)_{n\ge0}} une suite de nombres réels.

  • On dit que la suite {u} tend vers {+\infty} si : {\forall\, A\in\mathbb{R},\;\exists\, N\in\mathbb{N},\;n\ge N\Rightarrow u_n\ge A}.
  • On dit que la suite {u} tend vers {-\infty} si : {\forall\, A\in\mathbb{R},\;\exists\, N\in\mathbb{N},\;n\ge N\Rightarrow u_n\le A}.
  • Soit {\ell} un nombre réel.
    On dit que la suite {u} tend vers {\ell} si : {\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\, N\in\mathbb{N},\;n\ge N\Rightarrow |u_n-\ell|\le\varepsilon}.

On a ainsi donné un sens à la phrase “la suite {u} tend vers {\ell}“, avec {\ell} dans {\overline{\mathbb{R}}}.
On pourrait dire que la suite {u} tend vers {\ell} “quand {n\to+\infty}“, mais ce n’est pas vraiment utile, s’il n’y a pas d’ambiguïté possible sur le rôle de {n} dans cette définition.

On pourra comparer les définitions précédentes avec celles données en classe Terminale S :

  • La suite {u} tend vers {\ell} réel si tout intervalle ouvert contenant {\ell} contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang
  • La suite {u} tend vers {+\infty} si tout intervalle ouvert de la forme {]A,+\infty[} contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang
Définition
Soit {\ell} un élément de {\overline{\,\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}}. Si la suite {u} tend vers {\ell} on note simplement {u_{n}\to\ell}.
Proposition (unicité de la limite si existence)
Soit {u=(u_n)_{n\ge0}} une suite de nombres réels, tendant vers {\ell}, avec {\ell} dans {\overline{\mathbb{R}}}.
Alors {\ell} est le seul élément de {\overline{\mathbb{R}}} à posséder cette propriété.
On l’appelle la limite de la suite {u}, et on note {\ell = \lim u_{n}}.

Remarque :
on peut noter {\displaystyle\lim_{n\to\infty} u_{n}}, ou {\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_{n}}, notamment en présence d’autres variables.
Par exemple, pour lever toute ambiguïté, on écrira : {\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{2n+5m}{3n+7m}=\dfrac{2}{3}\;\text{et}\;\displaystyle\lim_{m\to\infty}\dfrac{2n+5m}{3n+7m}=\dfrac{5}{7}}

Démonstration
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Suites convergentes ou divergentes

Définition
Soit {u=(u_n)_{n\ge0}} une suite de nombres réels.
On dit que la suite {u} est convergente si elle admet une limite finie, c’est-à-dire une limite {\ell} dans {\mathbb{R}}.
Dans le cas contraire, c’est-à-dire si la suite {u} n’a pas de limite, ou si elle tend vers {+\infty} ou vers {-\infty}, on dit qu’elle est divergente.
Proposition (toute suite convergente est bornée)
Si une suite numérique {(u_n)_{n\ge0}} est convergente, alors elle est bornée.

La réciproque est fausse. Par exemple, la suite {n\mapsto(-1)^n} est bornée, mais n’a pas de limite.

Toute suite de réels qui tend vers {+\infty} ou {-\infty} est non bornée.

Mais là encore la réciproque est fausse : la suite {n\mapsto (-1)^{n}n} n’est pas bornée, mais ne tend ni vers {+\infty} ni vers {-\infty} (elle n’a pas de limite).

Il ne faut pas croire qu’une suite tendant vers {+\infty} (resp. {-\infty}) est nécessairement croissante (resp. décroissante) au moins à partir d’un certain rang. Considérer par exemple {n\mapsto u_{n}=n+(-1)^{n}}.

Opérations sur les limites

Dans cette sous-section, on note {(u_{n})_{n\ge0}} et {(v_{n})_{n\ge0}} deux suites de nombres réels.

Proposition (limite et valeur absolue)
Si {\lim u_n=\ell}, alors {\lim\left|u_n\right|=\left|\ell\right|}

Ce résultat vaut encore si {\ell=-\infty} ou {\ell=+\infty}, à condition de noter {\left|{-\infty}\right|=\left|{+\infty}\right|=+\infty}.

L’existence de {\lim\left|u_n\right|} n’implique pas celle de {\lim u_n}, comme on le voit avec {u_n=(-1)^n}.

En revanche, on a l’équivalence : {\lim u_n=0\Leftrightarrow\lim |u_n|=0}.
Si {\ell} est un réel, on a les équivalences : {\lim u_n=\ell\Leftrightarrow\lim (u_n-\ell)=0\Leftrightarrow\lim |u_n-\ell|=0}

Proposition (limites et combinaisons linéaires)
Soit {\alpha} et {\beta} deux réels. Si {\lim u_n=\ell} et si {\lim v_n=\ell'}, alors {\lim (\alpha u_n+\beta v_n)=\alpha\ell+\beta \ell'}

Ce résultat s’étend si {\ell} ou {\ell'} sont dans {\{-\infty,+\infty\}}, à condition que {\alpha \ell+\beta \ell'} ait un sens dans {\overline{\mathbb{R}}}.

Ainsi, on ne peut rien dire en général pour {\lim(u_n+v_{n})} si {\lim u_{n}=+\infty} et si {\lim v_n=-\infty}.

On dit dans ce cas qu’on est en présence de la forme indéterminée «{\infty-\infty}».
Il faut alors faire une étude spécifique et “lever” cette indétermination.

Proposition (limites et produits)
Si {\lim u_n=\ell} et {\lim v_n=\ell'}, alors {\lim (u_n\,v_n)=\ell\,\ell'}.

Ce résultat s’étend si {\ell} ou {\ell'} sont dans {\{-\infty,+\infty\}}, à condition que {\ell\, \ell'} ait un sens dans {\overline{\mathbb{R}}}.

Ainsi, on ne peut rien dire en général pour {\lim(u_nv_{n})} si {\lim u_{n}=0} et si {\lim v_n\in\{-\infty,+\infty\}}.

On dit dans ce cas qu’on est en présence de la forme indéterminée «{0\,\infty}».
Il faut alors faire une étude spécifique et “lever” cette indétermination.

Proposition (produit d'une suite qui tend vers 0 et d'une suite bornée)
Si {\lim u_n=0} et si la suite {(v_n)_{n\ge0}} est bornée, alors {\lim (u_n\,v_n)=0}.
Proposition
Si {\lim u_n=\ell}, avec {\ell} dans {\mathbb{R}^{*}}, alors il existe {n_0} dans {\mathbb{N}} tel que : {n\ge n_0\Rightarrow|u_n|\ge\dfrac{1}2\,\left|{\ell}\right|}.
En particulier, pour tout {n\ge n_{0}}, on a la majoration : {\dfrac1{|u_n|}\le\dfrac2{|\ell|}}.
Proposition (limites et inverses)
Si {\lim u_n=\ell}, avec {\ell} dans {\mathbb{R}^{*}}, il existe un entier à partir duquel {u_{n}\ne0}. On a alors {\lim \dfrac1{u_n}=\dfrac1\ell}.
Si {\lim u_n=0} et si les {u_{n}} sont strictement positifs, alors {\lim \dfrac1{u_n}=+\infty}.
De même, si {\lim u_n=0} et si les {u_{n}} sont strictement négatifs, alors {\lim \dfrac1{u_n}=-\infty}.
Si {\lim u_n=-\infty} ou {\lim u_n=+\infty}, alors {\lim \dfrac1{u_n}=0}.

Ce qui précède permet de conclure dans le calcul de {\lim\dfrac{u_{n}}{v_{n}}}, sauf dans les cas suivants :

  • Si {\lim u_n=0} et {\lim v_n=0}, on parle de la forme indéterminée “{\dfrac 00}
  • Si {\lim u_n=\pm\infty} et {\lim v_n=\pm\infty}, on parle de la forme indéterminée “{\dfrac\infty\infty}

Pour {\lim\,{u_n}^{v_n}}, il y a trois formes indéterminées, se ramenant à “{0\,\infty}” car {u_{n}^{v_{n}}=\text{e}^{v_{n}\ln(u_{n})}}

Ces trois formes indéterminées sont :

  • {1^\infty}” si {\lim u_{n}=1} et {\lim v_{n}\pm\infty}
  • {\infty^0}” si {\lim u_{n}=+\infty} et {\lim v_{n}=0}
  • {0^0}” si {\lim u_{n}=0^{+}} et {\lim v_{n}=0}

Avec une forme indéterminée, tout est possible : il faut faire une étude spécifique pour chaque cas.

Passage à la limite et inégalités

Proposition (conservation des inégalités larges)
Soit {(u_n)_{n\ge0}} et {(v_n)_{n\ge0}} deux suites réelles, de limites respectives {\ell} et {\ell'} dans {\overline{\,\mathbb{R}}}.
S’il existe un entier {n_0} tel que {u_{n}\le v_{n}} pour tout {n\ge n_{0}}, alors {\ell\le\ell'}.

Cas particuliers

  • On exprime cette propriété en disant que le passage à la limite “conserve les inégalités larges”.
    En revanche, si {u_{n}\lt v_{n}} pour {n\ge n_{0}}, alors on ne peut (là encore) affirmer que {\ell\le\ell'}.
  • Cas particuliers :
    Soit {\lambda} un réel (le cas le plus utile étant {\lambda =0}), et {n_0} un entier naturel.
    Si on a l’inégalité {u_{n}\ge \lambda} pour tout entier {n \ge n_{0}}, alors {\ell\ge\lambda}.
    Si on a l’inégalité {u_n\le\lambda} pour tout entier {n\ge n_0}, alors {\ell\le\lambda}.
Proposition
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite réelle, de limite {\ell} dans {\overline{\,\mathbb{R}}}.
Si {\ell\lt \lambda}, alors il existe un entier {n_{0}} tel que : {\forall\, n\ge n_{0},\;u_n\lt \lambda}.
Si {\ell>\lambda}, alors il existe un entier {n_{0}} tel que : {\forall\, n\ge n_{0},\;u_n>\lambda}.

Le résultat précédent est souvent utilisé avec {\lambda=0} : par exemple, si {\lim u_{n}=\ell>0}, alors il existe un rang à partir duquel les {u_{n}} sont tous strictement positifs.

Convergence par encadrement

Proposition
Soit {(u_n)_{n\ge0}}, {(v_n)_{n\ge0}}, {(w_n)_{n\ge0}} trois suites réelles.
On suppose que {\lim u_n=\lim v_n=\ell}, où {\ell} est dans {\mathbb{R}}.
S’il existe un entier {n_0} tel que : {u_n\le w_n\le v_n} pour tout {n\ge n_{0}}, alors {\lim w_n=\ell}.

Cas particulier :
si {\lim u_n=0}, et s’il existe {n_{0}} tel que {\left|{v_n}\right|\le\left|u_n\right|} pour {n\ge n_{0}}, alors {\lim v_n=0}.

Divergence par minoration ou majoration

Proposition (autres propriétés liées à la relation d'ordre)

Si {\lim u_n=+\infty} s’il existe un entier {n_{0}} tel que {v_n\ge u_n} pour tout {n\ge n_{0}}, alors {\lim v_n=+\infty}.
Si {\lim u_n=-\infty} s’il existe un entier {n_{0}} tel que {v_n\le u_n} pour tout {n\ge n_{0}}, alors {\lim v_n=-\infty}.

Proposition (convergence ou divergence par comparaison de quotients)
Soit {u} et {v} deux suites à valeurs dans {\mathbb{R}^{+*}}, et telles que : {\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\le\dfrac{v_{n+1}}{v_n}} pour {n\ge n_{0}}.
Dans ces conditions, si {\lim v_n=0} alors {\lim u_n=0}.
De même, si {\lim u_n=+\infty}, alors {\lim v_n=+\infty}.

Quelques limites utiles

Soit {a} un réel strictement supérieur à {1}, et soit {k} un réel strictement positif.
Alors on a les limites : {\quad\displaystyle\lim_{n\to\infty}\,\dfrac{a^n}{n^k}=+\infty,\quad\displaystyle\lim_{n\to \infty}\,\dfrac{n!}{a^n}=+\infty,\quad \displaystyle\lim_{n\to\infty}\,\dfrac{n^n}{n!}=+\infty}

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