Généralités sur les suites

Plan du chapitre "Suites numériques"

Suites d’un ensemble quelconque

Définition (suites d'éléments d'un ensemble E)
Une suite d’éléments d’un ensemble {E} est une fonction (une application) de {\mathbb{N}} dans {E}.
Il revient au même de dire que {u} est une famille d’éléments de {E} indicée par {\mathbb{N}}.
Plutôt que de noter {u(n)} l’image d’un entier {n}, on note en général {u_n}.
La suite {u} est elle-même notée {(u_n)_{n\in \mathbb{N}}} , ou {(u_n)_{n\ge0}}, ou simplement {(u_{n})}.
On dit que {u_{n}} est le terme d’indice {n} (ou terme général) de la suite {u}, et que {u_0} en est le terme initial.

Suites numériques

On parle de suite numérique si {E=\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}, réelle si {E=\mathbb{R}}, complexe si {E=\mathbb{C}}.

La donnée d’une suite complexe {(z_n)_{n\ge0}} équivaut à celle de deux suites réelles {(u_n)_{n\ge 0}} et {(v_n)_{n\ge 0}} définies par : {\forall\, n\in\mathbb{N},z_n=u_n+iv_n}, c’est-à-dire {u_n=\text{Re}(z_n)} et {v_n=\text{Im}(z_n)}.

Conformément au programme, l’essentiel de ce chapitre est consacré aux suites réelles.

Remarques importantes

Deux suites {(u_n)_{n\ge0}} et {(v_n)_{n\ge0}} sont égales si et seulement si {u_n=v_n} pour tout {n}.

Il suffit donc qu’il existe au moins un entier {n} tel que {u_{n}\ne v_{n}} pour que les deux suites soient considérées comme distinctes.

On ne confondra pas une suite {u} (c’est-à-dire une fonction définie sur {\mathbb{N}}) avec l’ensemble des valeurs que prend cette fonction. Par exemple, les suites {n\mapsto u_n=(-1)^n} et {n\mapstov_n=(-1)^{n+1}} sont distinctes (on a même {u_{n}\ne v_{n}} pour tout {n}), mais ont le même ensemble de valeurs {\{-1,1\}}.

Enfin, on ne confondra jamais la suite {(u_{n})_{n\ge0}} avec son terme général {u_{n}}.
Ceci est particulièrement important si on choisit la notation {(u_{n})} pour désigner la suite {u}.

Suites périodiques, stationnaires

On dit qu’une suite {(u_{n})_{n\ge0}} est constante s’il existe un élément {a} tel que : {\forall\, n\in\mathbb{N},\; u_{n}=a}.

On dit qu’elle est stationnaire s’il existe un élément {a} et un entier {n_{0}} tel que : {\forall\, n\ge n_{0},\; u_{n}=a}.

On dit qu’elle est {p}-périodique (avec {p\in\mathbb{N}^*} si : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n+p}=u_n}.
Le plus petit {p} de {\mathbb{N}^{*}} ayant cette propriété est appelé la période de la suite {u}.

Suites définies “à partir d’un certain rang”

On est souvent amené à considérer des suites définies non sur {\mathbb{N}}, mais sur {[[ n_{0},+\infty[} ({n_{0}} dans {\mathbb{N}}).
Dans ce cas, le terme initial de la suite est bien sûr {u_{n_{0}}}, et la suite elle-même est notée {(u_{n})_{n\ge n_{0}}}.

Cela n’a pas vraiment d’importance dans la mesure où les propriétés essentielles des suites numériques, notamment en ce qui concerne les limites, sont encore vraies si les hypothèses (majoration, monotonie par exemple) sont vraies “à partir d’un certain rang”.

C’est pour cette raison que la notation {(u_{n})} est encore acceptable pour désigner une telle suite {u}.

Une suite stationnaire est une suite “constante à partir d’un certain rang”.

Dans la suite, on considéra des suites {(u_{n})_{n\ge0}} (une suite {(v_{n})_{n\ge n_{0}}} s’y ramène en posant {u_{n}=v_{n-n_{0}}}).

Suites majorées, minorées, bornées

Définition (suites réelles majorées ou minorées)
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite de nombres réels.
On dit que la suite {u} est majorée s’il existe {M} dans {\mathbb{R}} tel que, pour tout {n} de {\mathbb{N}}, {u_n\le M}.
Elle est dite minorée s’il existe {m} dans {\mathbb{R}} tel que, pour tout {n} de {\mathbb{N}}, {u_n\ge m}.
Elle est dite bornée si elle est à la fois minorée et majorée.

Dire qu’une suite réelle {(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}} est majorée (resp. minorée) équivaut à dire que l’ensemble {\{u_{n},\;n\in\mathbb{N}\}} des valeurs prises par cette suite est une partie majorée (resp. minorée) de {\mathbb{R}}.

Dire qu’une suite réelle est bornée, c’est dire qu’elle est à la fois minorée et majorée.
Cela revient aussi à dire qu’elle est majorée en valeur absolue.

Suites réelles monotones

Définition (suites réelles monotones)
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite de nombres réels.
La suite {u} est dite croissante si, pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a : {u_{n}\le u_{n+1}}.
Elle est dite décroissante si, pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a : {u_{n+1}\le u_{n}}.
Elle est dite monotone si elle est croissante ou décroissante.
Définition (suites réelles strictement monotones)
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite de nombres réels.
La suite {u} est dite strictement croissante si, pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a : {u_{n}\lt u_{n+1}}.
Elle est dite strictement décroissante si, pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a : {u_{n+1}\lt u_{n}}.
Elle est dite strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Remarques

  • Quand une suite est dite monotone, sans plus de précision, il s’agit de monotonie “au sens large”.
  • Soit {u=(u_n)_{n\ge0}} une suite de nombres réels.
    Dire que {u} est croissante c’est dire que, pour tous {m,n} de {\mathbb{N}}, on a : {m\le n\Rightarrow u_{m}\le u_{n}}.
    Dire que {u} est décroissante c’est dire que, pour tous {m,n} de {\mathbb{N}}, on a : {m\le n\Rightarrow u_{m}\ge u_{n}}.
  • La monotonie d’une suite {(u_{n})_{n\ge0}} se mesure en comparant deux termes consécutifs {u_{n}} et {u_{n+1}}.
    C’est une différence importante avec les fonctions définies sur un intervalle de {\mathbb{R}}.
    En effet, pour qu’une fonction {f} soit monotone, il ne suffit pas de comparer {f(x+1)} avec {f(x)}.
    Penser par exemple à la fonction {f} définie sur {\mathbb{R}} par {f(x)=x+\cos(2\pi x)}.

  • Soit {u=(u_n)_{n\ge0}} une suite réelle. Notons {-u} la suite de terme général {-u_n}.
    Si l’une des deux suites {u} ou {-u} est minorée (resp. majorée), alors l’autre est majorée (resp. minorée).
    Si l’une des deux est croissante (resp. décroissante), alors l’autre est décroissante (resp. croissante).
    Si l’une est strictement monotone, l’autre est strictement monotone mais de monotonie contraire.
    Ces remarques montrent que, quitte à remplacer la suite {u} par la suite {-u}, on peut tojours se ramener à une suite croissante, ou à une suite majorée.

Le résultat suivant sera utile quand on parlera de “suites extraites”:

Proposition (suites strictement croissantes d'entiers naturels)
Soit {n\mapsto\varphi(n)} une suite strictement croissante d’entiers naturels.
Alors, on a {\varphi(n)\ge n} pour tout {n} de {\mathbb{N}}.

Attention : l’hypothèse selon laquelle les {\varphi(n)} sont dans {\mathbb{N}} est indispensable.

Démonstration
 Vous devez être abonné(e) et connecté(e) au site pour voir ce contenu 

Page suivante : limite d’une suite réelle