Extension aux suites complexes

Plan du chapitre "Suites numériques"

Limite d’une suite complexe

Définition (définition d'une suite complexe)
Une suite complexe

{z=(z_{n})_{n\ge0}}

est une fonction de

{\mathbb{N}}

dans

{\mathbb{C}}

.
Elle est définie de façon unique par deux suites réelles

{x,y}

en notant :

{\forall\, n\in\mathbb{N},\;z_{n}=x_{n}+iy_{n}}

.
Il revient au même d’écrire :

{\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n}=\text{Re}(z_{n})\;\text{et}\; y_{n}=\text{Im}(z_{n})}

.
On dit que

{(x_{n})_{n\ge0}}

est la partie réelle de la suite

{(z_{n})_{n\ge0}}

, et

{(y_{n})_{n\ge0}}

sa partie imaginaire.

Définition (limite d'une suite complexe)
Soit

{(z_n)_{n\ge0}}

une suite de nombres complexes. Soit

{\ell}

un nombre complexe.
On dit que la suite

{z}

tend vers

{\ell}

si :

{\forall\,\varepsilon>0,\exists\, N\in\mathbb{N},\;n\ge N\Rightarrow|z_n-\ell|\le\varepsilon<br /> }

On exprime aussi cette situation en disant que la suite

{(z_{n})_{n\ge0}}

est convergente vers

{\ell}

Remarques

La définition précédente est la même que pour les suites réelles convergentes, mais il s’agit ici du module (qui généralise la notion de valeur absolue dans ${\mathbb{R}}$ ).

La définition précédente peut aussi s’énoncer : la suite ${z}$ tend vers ${\ell}$ si tout disque fermé centré en ${\ell}$ (et de rayon strictement positif) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On a encore la propriété d’unicité de la limite (si existence), ce qui permet d’écrire ${\ell =\lim z_{n}}$ .

Si ${(z_n)_{n\ge0}}$ une suite complexe, ça n’a aucun sens de dire qu’elle tend vers ${+\infty}$ ou ${-\infty}$ .
Si ${(z_n)_{n\ge0}}$ n’admet pas de limite (c’est-à-dire si elle n’est pas convergente), elle est dite divergente.

Proposition (caractérisation en termes de partie réelle et partie imaginaire)
Soit

{(z_n)_{n\ge0}}

une suite complexe. Soit

{\ell=a+ib}

un nombre complexe, avec

{a,b}

dans

{\mathbb{R}}

.
Pour tout

{n}

{\mathbb{N}}

, posons

{z_n=x_n+iy_n}

, avec

{x_{n}}

{y_{n}}

dans

{\mathbb{R}}

.
Alors on a l’équivalence :

{\lim z_n=\ell\Leftrightarrow<br /> \begin{cases}\lim x_n=a\\\lim y_n=b\end{cases}}

Dans ce cas, on a donc :

{\lim z_n=(\lim x_n)+i\,(\lim y_{n})}

Voici une extension aux suites complexes des propriétés sur les limites et les opérations algébriques :

Proposition (limites et combinaisons linéaires)
On suppose que

{\lim z_n=\ell}

{\lim z'_n=\ell'}

, avec

{\ell}

{\ell'}

dans

{\mathbb{C}}

.
Pour tous

{\alpha}

{\beta}

dans

{\mathbb{C}}

, on a :

{\lim (\alpha z_n+\beta z'_n)=\alpha\ell+\beta \ell'}

Pour le produit : ${\lim (z_n\,z'_n)=\ell\,\ell'}$ . Si de plus ${\ell'\ne0}$ , alors on a : ${\lim \dfrac{z_n}{z'_n}=\dfrac{\ell}{\ell'}}$ .

Suites complexes bornées

Définition (suites complexes bornées)
Soit

{(z_n)_{n\ge0}}

une suite de nombres complexes.
On dit que la suite

{z}

est bornée s’il existe

{M}

dans

{\mathbb{R}^{+}}

tel que, pour tout

{n}

{\mathbb{N}}

{\left|{z_n}\right|\le M}

Proposition
Soit

{(z_n)_{n\ge0}}

une suite complexe. Posons

{z_n=x_n+iy_n}

, avec

{x_{n}}

{y_{n}}

dans

{\mathbb{R}}

.
Alors la suite

{(z_n)_{n\ge0}}

est bornée si et seulement si les suites

{(x_n)_{n\ge0}}

{(y_n)_{n\ge0}}

sont bornées.

Proposition (convergence et module)
Si une suite complexe

{(z_n)_{n\ge0}}

est convergente, elle est bornée (réciproque fausse).
Si

{\lim z_n=\ell}

, alors

{\lim\left|{z_n}\right|=\left|{\ell}\right|}

.
On a les équivalences :

{\lim z_n=\ell\Leftrightarrow\lim (z_n-\ell)=0\Leftrightarrow \lim |z_n-\ell|=0}

Remarques

Pour une suite à valeurs dans ${\mathbb{C}}$ , ça n’a aucun sens de dire si elle est majorée ou minorée.
De même, on ne parlera jamais de la monotonie d’une suite complexe (ça n’existe pas).

Dire qu’une suite complexe est bornée, c’est dire qu’elle est majorée en module.

Si ${\lim z_n=0}$ et si la suite ${(z'_n)_{n\ge0}}$ est bornée, alors ${\lim (z_n\,z'_n)=0}$ .

Soit ${(z_n)_{n\ge0}}$ une suite complexe. On suppose ${\lim z_n=\ell}$ , avec ${\ell}$ dans ${\mathbb{C}^{*}}$ .
Alors : ${\exists, n_0\in\mathbb{N},\;\forall n\ge n_0,\;|z_n|\ge\dfrac{1}2\,\left|{\ell}\right|}$ . En particulier, ${\dfrac1{|z_n|}\le\dfrac2{|\ell|}}$ pour ${n\ge n_{0}}$ .

Proposition (théorème de Bolzano-Weierstrass pour les suites complexes)
De toute suite bornée de

{\mathbb{C}}

, on peut extraire une suite convergente.

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