Extension aux suites complexes

Plan du chapitre "Suites numériques"

Limite d’une suite complexe

Définition (définition d'une suite complexe)
Une suite complexe {z=(z_{n})_{n\ge0}} est une fonction de {\mathbb{N}} dans {\mathbb{C}}.
Elle est définie de façon unique par deux suites réelles {x,y} en notant : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;z_{n}=x_{n}+iy_{n}}.
Il revient au même d’écrire : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n}=\text{Re}(z_{n})\;\text{et}\; y_{n}=\text{Im}(z_{n})}.
On dit que {(x_{n})_{n\ge0}} est la partie réelle de la suite {(z_{n})_{n\ge0}}, et {(y_{n})_{n\ge0}} sa partie imaginaire.
Définition (limite d'une suite complexe)
Soit {(z_n)_{n\ge0}} une suite de nombres complexes. Soit {\ell} un nombre complexe.
On dit que la suite {z} tend vers {\ell} si : {\forall\,\varepsilon>0,\exists\, N\in\mathbb{N},\;n\ge N\Rightarrow|z_n-\ell|\le\varepsilon<br /> }On exprime aussi cette situation en disant que la suite {(z_{n})_{n\ge0}} est convergente vers {\ell}.

Remarques

  • La définition précédente est la même que pour les suites réelles convergentes, mais il s’agit ici du module (qui généralise la notion de valeur absolue dans {\mathbb{R}}).
  • La définition précédente peut aussi s’énoncer : la suite {z} tend vers {\ell} si tout disque fermé centré en {\ell} (et de rayon strictement positif) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
  • On a encore la propriété d’unicité de la limite (si existence), ce qui permet d’écrire {\ell =\lim z_{n}}.
  • Si {(z_n)_{n\ge0}} une suite complexe, ça n’a aucun sens de dire qu’elle tend vers {+\infty} ou {-\infty}.
    Si {(z_n)_{n\ge0}} n’admet pas de limite (c’est-à-dire si elle n’est pas convergente), elle est dite divergente.
Proposition (caractérisation en termes de partie réelle et partie imaginaire)
Soit {(z_n)_{n\ge0}} une suite complexe. Soit {\ell=a+ib} un nombre complexe, avec {a,b} dans {\mathbb{R}}.
Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, posons {z_n=x_n+iy_n}, avec {x_{n}} et {y_{n}} dans {\mathbb{R}}.
Alors on a l’équivalence : {\lim z_n=\ell\Leftrightarrow<br /> \begin{cases}\lim x_n=a\\\lim y_n=b\end{cases}}
Dans ce cas, on a donc : {\lim z_n=(\lim x_n)+i\,(\lim y_{n})}.

Voici une extension aux suites complexes des propriétés sur les limites et les opérations algébriques :

Proposition (limites et combinaisons linéaires)
On suppose que {\lim z_n=\ell} et {\lim z'_n=\ell'}, avec {\ell} et {\ell'} dans {\mathbb{C}}.
Pour tous {\alpha} et {\beta} dans {\mathbb{C}}, on a : {\lim (\alpha z_n+\beta z'_n)=\alpha\ell+\beta \ell'}.

Pour le produit : {\lim (z_n\,z'_n)=\ell\,\ell'}. Si de plus {\ell'\ne0}, alors on a : {\lim \dfrac{z_n}{z'_n}=\dfrac{\ell}{\ell'}}.

Suites complexes bornées

Définition (suites complexes bornées)
Soit {(z_n)_{n\ge0}} une suite de nombres complexes.
On dit que la suite {z} est bornée s’il existe {M} dans {\mathbb{R}^{+}} tel que, pour tout {n} de {\mathbb{N}}, {\left|{z_n}\right|\le M}.
Proposition
Soit {(z_n)_{n\ge0}} une suite complexe. Posons {z_n=x_n+iy_n}, avec {x_{n}} et {y_{n}} dans {\mathbb{R}}.
Alors la suite {(z_n)_{n\ge0}} est bornée si et seulement si les suites {(x_n)_{n\ge0}} et {(y_n)_{n\ge0}} sont bornées.
Proposition (convergence et module)
Si une suite complexe {(z_n)_{n\ge0}} est convergente, elle est bornée (réciproque fausse).
Si {\lim z_n=\ell}, alors {\lim\left|{z_n}\right|=\left|{\ell}\right|}.
On a les équivalences : {\lim z_n=\ell\Leftrightarrow\lim (z_n-\ell)=0\Leftrightarrow \lim |z_n-\ell|=0}.

Remarques

  • Pour une suite à valeurs dans {\mathbb{C}}, ça n’a aucun sens de dire si elle est majorée ou minorée.
    De même, on ne parlera jamais de la monotonie d’une suite complexe (ça n’existe pas).
  • Dire qu’une suite complexe est bornée, c’est dire qu’elle est majorée en module.
  • Si {\lim z_n=0} et si la suite {(z'_n)_{n\ge0}} est bornée, alors {\lim (z_n\,z'_n)=0}.
  • Soit {(z_n)_{n\ge0}} une suite complexe. On suppose {\lim z_n=\ell}, avec {\ell} dans {\mathbb{C}^{*}}.
    Alors : {\exists, n_0\in\mathbb{N},\;\forall n\ge n_0,\;|z_n|\ge\dfrac{1}2\,\left|{\ell}\right|}. En particulier, {\dfrac1{|z_n|}\le\dfrac2{|\ell|}} pour {n\ge n_{0}}.
Proposition (théorème de Bolzano-Weierstrass pour les suites complexes)
De toute suite bornée de {\mathbb{C}}, on peut extraire une suite convergente.

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