Structures d’anneau et de corps

Plan du chapitre "Structures algébriques"

Structure d’anneau

Définition (structure d'anneau)
Soit {A} un ensemble muni de deux lois de composition, notées {+} et {\times}.
On dit que {(A,+,\times)} est un anneau si :

  • {(A,+)} est un groupe commutatif (son neutre est en général noté {0}).
  • La loi {\times} est associative et distributive par rapport à l’addition.
  • Il existe un élément neutre pour le produit {\times} (en général noté {1}).

Si de plus la loi {\times} est commutative, on dit que {(A,+,\times)} est un anneau commutatif.

Exemples

  • {(\mathbb{Z},+,\times)}, {(\mathbb{Q},+,\times)}, {(\mathbb{R},+,\times)} et {(\mathbb{C},+,\times)} sont des anneaux commutatifs.
  • Soit {(A,+,\times)} un anneau de neutres {0} (pour la loi {+}) et {1} (pour la loi {\times}).
    Il est possible que les deux éléments {0} et {1} de {A} soient identiques!
    Mais dans ce cas {A} se réduit à {\{0\}} (anneau nul, sans grand intérêt).
Proposition (groupe des éléments inversibles d'un anneau)
Soit {(A,+,\times)} un anneau.
L’ensemble des éléments de {A} qui sont inversibles pour le produit est un groupe pour la loi {\times}.

Exemples
Le groupe des inversibles de l’anneau {(\mathbb{Z},+,\times)} se réduit à la paire {\{-1,1\}}.
Le groupe des inversibles de l’anneau {(\mathbb{R},+,\times)} est l’ensemble de tous les réels non nuls.

Calculs dans un anneau

Soit {(A,+,\times)} un anneau (on note {0} le neutre pour {+}, et {1} le neutre pour {\times}).
Rappelons qu’on note {a-b} plutôt que {a+(-b)}.
On rappelle aussi que, pour tout {n\in\mathbb{N}^{*}}, la notation {na} désigne {a+a+\cdots+a} ({n} fois).

Pour tout {(a,b,c)} de {A^3}, et tout entier relatif {m}, on a : {\begin{cases}a0=0a=0\\(-a)b=a(-b)=-(ab)\cr (-a)(-b)=ab\end{cases}\;\text{et}\;\begin{cases}a(b-c)=ab-ac\cr (a-b)c=ac-bc\end{cases}}

Sommes et produits, développements

Pour tous {a_m,a_{m+1},\ldots,a_n} de {A}, on écrit : {a_m+a_{m+1}\cdots+a_n=\displaystyle\sum_{k=m}^na_k\;\text{et}\;a_m\,a_{m+1}\cdots a_n=\displaystyle\prod_{k=m}^na_k}
Si {m>n}, on pose {\displaystyle\sum_{k=m}^na_k=0} et {\displaystyle\prod_{k=m}^na_k=1} (somme et produit “vides”).

Pour tout {b} de {A}, on a : {b\Bigl(\,\displaystyle\sum_{k=m}^na_k\Bigr)=\displaystyle\sum_{k=m}^n(ba_k)\;\text{et}\;\Bigl(\,\displaystyle\sum_{k=m}^na_k\Bigr)b=\displaystyle\sum_{k=m}^n(a_kb)}
Plus généralement, on a les égalités : {\Bigl(\displaystyle\sum_{j=m}^na_j\Bigr)\Bigl(\displaystyle\sum_{k=p}^qb_k\Bigr)=\displaystyle\sum_{j=m}^n\Bigl(a_j\displaystyle\sum_{k=p}^qb_k\Bigr)=\displaystyle\sum_{j=m}^n\displaystyle\sum_{k=p}^qa_j b_k}

Proposition (factorisation de a^n-b^n dans un anneau)
Soit {(A,+,\times)} un anneau, et soit {a,b} deux éléments de {A}. On suppose que {ab=ba}.
Alors, pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, on a l’égalité : {a^{n}-b^{n}=(a-b)\Bigl(\,\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k\Bigl)}.

Cas particuliers (toujours si {ab=ba}) : {a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\;\text{et}\;a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}

Puisque {1} commute avec tous les éléments de {A}, on a toujours la factorisation : {\begin{array}{rl}\forall\, a\in A,\;\forall\, n\in\mathbb{N}^*,\;1-a^n&=(1-a) \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a^k\\\\&=(1-a)(1+a+a^2+\cdots+a^{n-1})\end{array}}

Proposition (formule du binôme dans un anneau)
Soit {(A,+,\times)} un anneau, et soit {a,b} deux éléments de {A}. On suppose que {ab=ba}.
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on a la “formule du binôme” : {(a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom nk a^k\,b^{n-k}}.

Remarque sur l’importance de l’hypothèse {ab=ba}

Dans les deux propositions précédentes, l’hypothèse selon laquelle {a} et {b} commutent est essentielle.
Évidemment, cela est automatiquement vérifié dans un anneau commutatif.

Si {a,b} ne commutent pas, le développement de {(a+b)^{n}} est beaucoup plus compliqué!

On trouve par exemple : {\begin{cases}(a+b)^{2}=a^{2}+ab+ba+b^{2}\cr (a+b)^{3}=a^{3}+a^{2}b+aba+ab^{2}+ba^{2}+bab+b^{2}a+b^{3}\end{cases}}

De même, si {ab\ne ba}, on a : {(a+b)(a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}}.

Sous-anneaux

Définition
Soit {(A,+,\times)} un anneau (on note {1} le neutre pour le produit). Soit {B} une partie de {A}.
On dit que {B} est un sous-anneau de {(A,+,\times)} si :

  • l’élément {1} appartient à {B}
  • pour tous {a,b} de {B}, la différence {a-b} et le produit {ab} sont dans {B}

Exemples

  • Si {B} est un sous-anneau de {A}, alors il est stable pour les deux lois, et {(B,+,\times)} est lui-même un anneau pour les lois induites (donc un “sous-anneau” de {A} au sens de l’inclusion).
  • Dans {(\mathbb{Z},+,\times),\;(\mathbb{Q},+,\times),\;(\mathbb{R},+,\times),\;(\mathbb{C},+,\times)}, chacun est un sous-anneau du suivant.
  • L’ensemble {\{ m10^{-n},m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\}} des nombres décimaux est un sous-anneau de {(\mathbb{Q},+,\times)}.

Structure de corps

Définition
Soit {K} un ensemble muni de deux lois {+} et {\times}.
On dit que {(K,+,\times)} est un corps si {(K,+,\times)} est un anneau commutatif non réduit à {\{0\}}, et si tous les éléments non nuls de {K} sont inversibles pour le produit.

Exemples

{(\mathbb{Q},+,\times)}, {(\mathbb{R},+,\times)} et {(\mathbb{C},+,\times)} sont des corps, mais pas {(\mathbb{Z},+,\times)}.

L’ensemble {K=\{r+s\sqrt2,(r,s)\in\mathbb{Q}^ 2\}} est un corps, avec {\mathbb{Q}\varsubsetneq K\varsubsetneq\mathbb{R}}.

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