Lois de composition

Plan du chapitre "Structures algébriques"

Loi de composition interne

Définition (loi de composition interne sur un ensemble)
Une loi de composition interne sur un ensemble {E} est une application de {E\times E} vers {E}.
Plutôt que de noter par exemple {f(u,v)} (notation
préfixée) l’image d’un couple {(u,v)}, on la note {u\ast v}, {u\,\text{T}\, v}, {u+v},
etc. (notation infixée) et on parle alors des lois {\ast}, {\text{T}}, {+}, etc.
On note souvent {(E,\ast)} pour désigner un ensemble {E} muni d’une loi de composition {\ast}.

On retiendra qu’une loi de composition {\ast} sur {E} est un mécanisme permettant, à partir de deux éléments quelconques {x} et {y} de {E}, de former un élément {z} de {E}, noté {z=x\ast y} et qu’on pourra appeler composé de {x} par {y} pour la loi {\ast}.

Il est important qu’une loi soit partout définie : le résultat {x\ast y} doit donc avoir un sens, quels que soient les éléments {x} et {y} de {E}.

Il arrive souvent qu’on utilise plusieurs fois le mécanisme précédent dans un même calcul. Il faut alors préciser, au moyen de parenthèses, dans quel ordre on a effectué les compositions.

Par exemple l’expression {x\ast y\ast z} est a priori dépourvue de signification, et il faudrait écrire :

  • soit {(x\ast y)\ast z} si on a d’abord calculé {a=x\ast y} avant de calculer {a\ast z}.
  • soit {x\ast (y\ast z)} si on a d’abord calculé {b=y\ast z} avant de calculer {x\ast b}.

Plus compliqué, une expression comme {x\ast y\ast z\ast t} possède les cinq parenthèsages possibles suivants, qui indiquent chacune une chronologie particulière dans les compositions par la loi {\ast} : {\begin{array}{ccc}(x\ast y)\ast (z\ast t)&((x\ast y)\ast z)\ast t)&(x\ast (y\ast z))\ast t\\x\ast((y\ast z)\ast t)&x\ast(y\ast(z\ast t))\end{array}}

On appréciera donc qu’une loi de composition possède la propriété suivante :

Définition (associativité d'une loi de composition)
Soit {\ast} une loi de composition sur un ensemble {E}.
On dit que la loi {\ast} est associative si, pour tous {x,y,z} de {E}, on a : {(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)}.

Quand une loi de composition {\ast} est associative, une expression comme {a\ast b\ast\ldots\ast x\ast y\ast z} est définie sans ambiguïté : les parenthèses qui indiquent dans quel ordre on combine les éléments deux à deux sont en effet inutiles. En revanche, l’ordre dans lequel les éléments apparaissent, de gauche à droite, reste important, à moins que…

Définition (éléments qui commutent pour une loi)
Soit {\ast} une loi de composition sur un ensemble {E}.
Soit {x} et {y} deux éléments de {E}. On dit que {x} et {y} commutent (pour la loi {\ast}) si {x\ast y=y\ast x}.
Définition (commutativité d'une loi de composition)
Soit {\ast} une loi de composition sur un ensemble {E}.
On dit que la loi {\ast} est commutative si, pour tous {x} et {y} de {E}, on a : {x\ast y=y\ast x}.

Autrement dit : une loi de composition sur {E} est commutative si tous les éléments de {E} commutent deux à deux pour cette loi. Quand une loi {\ast} est associative et commutative, non seulement une expression comme {a\ast b\ast\ldots\ast x\ast y\ast z} est définie sans ambiguïté, mais on peut aussi changer l’ordre des termes
et notamment regrouper ceux d’entre eux qui sont identiques.

On pourra ainsi noter {x\ast y\ast x\ast y\ast z\ast y\ast x\ast y=x^3\ast y^4\ast z} à condition, pour tout entier strictement positif {n}, de poser {a^n=a\ast a\ast\ldots\ast a} (l’élément {a} apparaissant {n}fois).

Exemples de lois usuelles

Somme et produit sur les ensembles de nombres:

Les lois {+} et {\times} usuelles sur {\mathbb{N}}, {\mathbb{Z}}, {\mathbb{Q}}, {\mathbb{R}}, et {\mathbb{C}} sont associatives et commutatives.

La loi produit {\times} est le plus souvent notée par simple juxtaposition : {xy} plutôt que {x\times y}.

On peut considérer l’opération “différence” sur {\mathbb{Z}}, {\mathbb{Q}}, {\mathbb{R}}, et {\mathbb{C}} (mais pas sur {\mathbb{N}}).
Cette loi, définie par {(x,y)\mapsto x-y}, n’est ni associative ni commutative (donc sans intérêt!).

La loi de composition des applications

Soit {E} un ensemble, et soit {\mathcal{F}(E)} l’ensemble des applications de {E} dans {E}.
On définit la loi {\circ} (loi de composition) sur {\mathcal{F}(E)} par {(f,g)\mapsto f\circ g}.
Cette loi est associative, mais elle n’est pas commutative (sauf si {E} est réduit à un singleton).

Même si la loi {\circ} n’est pas commutative, il existe des applications {f} et {g} qui commutent entre elles, c’est-à-dire qui vérifient {g\circ f=f\circ g}.
Ainsi, en géométrie du plan, les rotations de même centre commutent deux à deux.

Lois sur l’ensemble des parties d’un ensemble

Soit {E} un ensemble. Les lois {\cup} (union), {\cap} (intersection) et {\Delta} (différence symétrique) sur {\mathcal{P}(E)} sont toutes trois commutatives et associatives.

En revanche, la “différence ensembliste” définie sur {\mathcal{P}(E)} par {A\setminus B=A\cap\overline{B}=\{x\in A,\;x\notin B\}}, n’est ni associative ni commutative.

Maximum et minimum sur un ensemble totalement ordonné

Soit {E} un ensemble muni d’une relation d’ordre total note {\le}.

Les lois {\min} et {\max} (minimum et maximum) sont notées de façon préfixée : {\min(x,y)} et {\max(x,y)}.
Ces deux lois sont associatives et commutatives.

Pgcd et ppcm sur les entiers

Les lois pgcd et ppcm sur {\mathbb{N}} ou {\mathbb{Z}} sont commutatives et associatives.
Elles sont notées de façon tantôt préfixe ({\text{pgcd}(a,b)} et {\text{ppcm}(a,b)}), tantôt infixe ({a\wedge b} et {a\vee b}).

C’est l’associativité qui permet de noter, sans ambiguïté : {\begin{cases}a\wedge b\wedge c\wedge\cdots\\ a\vee b\vee c\vee\cdots\end{cases}}

Addition et produit “modulo {n}

Si {n} est un entier strictement positif, notons {\mathbb{N}_{n}=\{0,1,2,\ldots,n-1\}}.
{\mathbb{N}_{n}} est donc l’ensemble des restes possibles dans la division euclidienne par {n}.

On peut définir deux lois sur {\mathbb{N}_{n}} à partir des lois {+} et {\times} de {\mathbb{N}}, en calculant le résultat modulo {n}.
Ces deux lois sont associatives et commutatives.

Par exemple, dans {\mathbb{N}_{15}}, on a {\begin{cases}11+23=4\text{\ car\ }34\equiv 4~[15])\\11\cdot 23=13\text{\ car\ }11\cdot 23=253\equiv13~[15]\end{cases}}

Voici la table des lois {+} et {\times} dans l’ensemble {\mathbb{N}_{10}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}} (la première ligne et la première colonne de chaque tableau ne sont pas considérées comme faisant partie de la table : elles sont simplement un rappel de la valeur des éléments de {\mathbb{N}_{10}}).

Table de l’addition dans {\mathbb{N}_{10}} :

{\begin{array}{c|cccccccccc|}+&\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}&\mathbf{6}&\mathbf{7}&\mathbf{8}&\mathbf{9}\\\mathbf0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\mathbf1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&0\\\mathbf2&2&3&4&5&6&7&8&9&0&1\\\mathbf3&3&4&5&6&7&8&9&0&1&2\\\mathbf4&4&5&6&7&8&9&0&1&2&3\\\mathbf5&5&6&7&8&9&0&1&2&3&4\\\mathbf6&6&7&8&9&0&1&2&3&4&5\\\mathbf7&7&8&9&0&1&2&3&4&5&6\\\mathbf8&8&9&0&1&2&3&4&5&6&7\\\mathbf9&9&0&1&2&3&4&5&6&7&8\end{array}}

Table de l’addition dans {\mathbb{N}_{10}} :

{\begin {array}{c|cccccccccc|}\times&\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}&\mathbf{6}&\mathbf{7}&\mathbf{8}&\mathbf{9}\\\mathbf0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\mathbf1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\mathbf2&0&2&4&6&8&0&2&4&6&8\\\mathbf3&0&3&6&9&2&5&8&1&4&7\\\mathbf4&0&4&8&2&6&0&4&8&2&6\\\mathbf5&0&5&0&5&0&5&0&5&0&5\\\mathbf6&0&6&2&8&4&0&6&2&8&4\\\mathbf7&0&7&4&1&8&5&2&9&6&3\\\mathbf8&0&8&6&4&2&0&8&6&4&2\\\mathbf9&0&9&8&7&6&5&4&3&2&1\end {array}}

Loi sur l’ensemble des fonctions à valeurs dans {(E,\ast)}

Soit {E} un ensemble muni d’une loi {\ast}, et soit {X} un ensemble quelconque.

On définit une loi, encore notée {\ast}, sur l’ensemble {\mathcal{F}(X,E)} des applications de {X} vers {E}.
On pose pour cela : {\forall\,(f,g)\in\mathcal{F}(X,E)^2,\;\forall\, x\in X,\;(f\ast g)(x)=f(x)\ast g(x)}

On vérifie que si la loi {\ast} sur {E} est associative (resp. commutative), alors la loi {\ast} sur {\mathcal{F}(X,E)} est encore associative (resp. commutative).

On définit par exemple les lois {+} et {\times} sur l’ensemble des applications de {X}vers {\mathbb{R}} (ou {\mathbb{N}}, {\mathbb{Z}}, {\mathbb{Q}}, {\mathbb{C}}).

Autre exemple : si {X=\mathbb{N}} et {E=\mathbb{R}}, on définit la somme {s=u+v} et le produit {p=uv} de deux suites {(u_{n})_{n\ge0}} et {(v_{n})_{n\ge0}} de nombres réels en posant: {\forall n\in\mathbb{N},\;s_{n}=u_{n}+v_{n}\;\text{et}\;p_{n}=u_{n}v_{n}}

Élément neutre et inversibilité

Définition
Soit {E} un ensemble muni d’une loi de composition {\ast}. Soit {e} un élément de {E}.
On dit que {e} est élément neutre pour la loi {\ast} si, pour tout élément {x} de {E}, on a : {x\ast e=e\ast x=x}.

Remarque : si {\ast} est commutative, l’égalité {x\ast e=e\ast x} est automatiquement réalisée.

Proposition (unicité de l'élément neutre)
L’élément neutre de l’ensemble {E} pour la loi {\ast}, s’il existe, est unique.
Démonstration
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Conventions de vocabulaire

Il est beaucoup plus juste de dire que c’est {E} qui possède un élément neutre {e} pour la loi {\ast}, plutôt que de dire que c’est la loi {\ast} qui possède l’élément neutre {e}.

La notation {+} peut être employée en dehors des ensembles {\mathbb{N}}, {\mathbb{Z}}, {\mathbb{Q}}, {\mathbb{R}}, {\mathbb{C}} : elle doit cependant être réservée aux lois commutatives. Dans ce cas, l’élément neutre, s’il existe, sera souvent noté {0}.

De même, pour une loi noté multiplicativement (ou par juxtaposition), on pourra noter {1} l’élément neutre éventuel (s’il n’y a pas de risque d’ambiguïté).

Quelques exemples

  • Dans {\mathbb{N}}, {\mathbb{Z}}, {\mathbb{Q}}, {\mathbb{R}} et {\mathbb{C}} : {0} est neutre pour la loi {+} et {1} est neutre pour la loi {\times}.
  • Dans {\mathcal{F}(E)} : l’application Identité {\text{Id}_E} est neutre pour la loi {\circ} (composition).
  • Soit {X} un ensemble quelconque, et soit {E} un ensemble muni d’une loi {\ast} avec un neutre {e}.
    On munit {\mathcal{F}(X,E)} de la loi {\ast}, définie par : {\forall\,(f,g)\in\mathcal{F}(X,E)^2}, {\forall\, x\in X,(f\ast g)(x)=f(x)\ast g(x)}.
    Alors l’application constante, qui à tout {x} de {E} associe {e}, est neutre pour cette loi.
    Ainsi, sur l’ensemble {\mathcal{F}(\mathbb{N},\mathbb{K})} des suites (à valeurs dans {\mathbb{K}=\mathbb{R}}ou {\mathbb{C}}), la suite constante {0} est neutre pour l’addition, et la suite constante {1} est neutre pour le produit.
  • Dans {\mathcal{P}(E)} : {\emptyset} est neutre pour la loi {\cup} (et pour la loi {\Delta}), et {E} est neutre pour la loi {\cap}.

  • Dans {\mathbb{Z}}, {\mathbb{Q}} et {\mathbb{R}} : les lois {\min} et {\max} n’ont pas d’élément neutre.
Définition (inversibilité d'un élément)
Soit {E} un ensemble muni d’une loi associative {\ast}. On suppose qu’il existe un élément neutre {e}.
On dit qu’un élément {x} est inversible (pour la loi {\ast}) s’il existe {x'} dans {E} tel que {x\ast x'=x'\ast x=e}.
Si un tel élément {x'} existe, il est unique.
On le note en général {x^{-1}}, et on l’appelle l’inverse (ou le symétrique) de {x} pour la loi {\ast}.
Proposition (inversibilité du produit de deux éléments inversibles)
Soit {E} un ensemble muni d’une loi associative {\ast}. On suppose qu’il existe un élément neutre {e}.
Soit {x} et {y} deux éléments de {E}, inversibles pour la loi {\ast}, d’inverses respectifs {x^{-1}} et {y^{-1}}.
Alors {x\ast y} est inversible, et son inverse est {(x\ast y)^{-1}=y^{-1}\ast x^{-1}}.

Remarque : attention à la permutation dans la formule précédente, si la loi {\ast} n’est pas commutative.

Notation additive

Dans le cas d’une loi {+} (nécessairement commutative, d’élément neutre {0}), on ne parle pas d’inverse ou de symétrique, mais d’opposé, et l’élément en question n’est pas noté {x^{-1}} ou {x'} mais {-x}.

L’opposé de {x} est donc l’unique élément de {E} tel que {x+(-x)=0}.

Pour tous éléments {x} et {y}, et si {x} possède un opposé, on note {y-x} plutôt que {y+(-x)}.

En notation additive, la propriété {(x\ast y)^{-1}=y^{-1}\ast x^{-1}} devient {-(x+y)=-y-x=-x-y}.

Propriétés et remarques

  • S’il n’y a pas de neutre dans {E} pour la loi {\ast}, alors la notion d’élément inversible n’a aucun sens.
  • On a demandé à la loi {\ast} d’être associative pour garantir l’unicité du symétrique si existence.
  • L’élément neutre {e} de {E} pour la loi {\ast} est inversible et il est son propre inverse (car {e\ast e=e}).

Exemples

  • Dans {(\mathbb{N},+)} seul l’entier {0} possède un opposé.
    Bien sûr, tous les éléments de {(\mathbb{Z},+)}, {(\mathbb{Q},+)}, {(\mathbb{R},+)} et {(\mathbb{C},+)} possèdent un opposé.
    Les éléments inversibles de {(\mathbb{R},\times)} sont les éléments non nuls (idem avec {(\mathbb{Q},\times)} et {(\mathbb{C},\times)}).
    Le seul élément inversible de {(\mathbb{N},\times)} est {1}. Les seuls éléments inversibles de {(\mathbb{Z},\times)} sont {-1} et {1}.
  • Dans {(\mathcal{F}(E),\circ)}, une application est inversible si et seulement si elle est bijective.
    Son inverse est alors sa bijection réciproque {f^{-1}}. La notation {f^{-1}} ne prête donc pas à confusion.
  • Dans le cas des applications de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}, on ne confondra le produit {fg} et la composition {f\circ g}.
    On sait que le neutre pour la loi {\circ} est {\text{Id}_{E}}, et que {f} est inversible pour cette loi si {f} est bijective.
    En revanche, le neutre pour la loi produit est l’application constante {x\mapsto 1}, et {f} est inversible pour cette loi (c’est-à-dire il existe une application {g} telle que {fg=1}) si et seulement si {f} ne s’annule jamais. L’inverse de {f} (pour le produit!) est alors l’application {1/f}.

Distributivité

Définition
Soit {E} un ensemble muni de deux lois {\ast} et {\text{T}}.
On dit que la loi {\ast} est distributive par rapport à la loi {\text{T}}si, pour tous {x,y,z} de {E} :

  • d’une part {x\ast(y\,\text{T}\, z)=(x\ast y)\,\text{T}\,(x\ast z)} (distributivité à gauche)
  • d’autre part {(x\,\text{T}\, y)\ast z=(x\ast z)\,\text{T}\,(y\ast z)} (distributivité à droite)

Exemples et remarques

  • Si {\ast} est commutative, chacune des deux distributivités (à gauche ou à droite) implique l’autre.
  • Dans {\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}}, on a toujours {x(y+z)=xy+xz}.
    Autrement dit, la loi {\times} est distributive par rapport à la loi {+}.
    En revanche la loi {+} n’est pas distributive par rapport à la loi {\times}.

  • Dans {\mathcal{P}(E)}, les lois {\cup} et {\cap} sont distributives l’une par rapport à l’autre.
    On a en effet toujours les égalités : {\begin{cases}A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\cr A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\end{cases}}.

    Toujours dans {\mathcal{P}(E)}, la loi {\cap} est distributive par rapport à la loi {\Delta}.
    Mais réciproquement, la loi {\Delta} n’est pas distributive par rapport à la loi {\cap}.

  • La distributivité, l’associativité, la commutativité sont utiles aux développements.
    Il est par exemple clair que {(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd} pour tous réels {a,b,c,d}.
    Mais si {A,B,C,D} sont des parties de {E}, les mêmes propriétés permettent d’écrire : {\begin{cases}(A\cup B)\cap (C\cup D)=(A\cap C)\cup(A\cap D)\cup(B\cap C)\cup(B\cap D)\\(A\cap B)\cup (C\cap D)=(A\cup C)\cap(A\cup D)\cap(B\cup C)\cap(B\cup D)\end{cases}}

Partie stable pour une loi

Définition
Soit {E} un ensemble muni d’une loi {\ast}, et soit {F} une partie de {E}.
On dit que {F} est stable pour la loi {\ast} si : {\forall\,(x,y)\in F\times F,\;x\ast y\in F}.
La restriction à {F\times F} de la loi {\ast} définit alors une loi de composition sur {F}, qu’on appelle loi induite sur {F} par celle de {E}, et qu’en général on note encore {\ast}.

Quelques exemples dans {(\mathbb{R},+)} ou {(\mathbb{R},\times)}

  • L’intervalle {\mathbb{R}^{+}=[0,+\infty[} est stable, à la fois pour l’addition et pour le produit.
  • L’intervalle {[-1,1]} est stable pour le produit, mais pas pour l’addition.
  • L’intervalle {[-2,2]} n’est stable ni pour le produit, ni pour l’addition.
  • L’intervalle {\mathbb{R}^{-}=]-\infty,0]} est stable pour l’addition, mais pas pour le produit.
  • L’ensemble des rationnels est une partie stable de {\mathbb{R}}, pour les deux lois {+} et {\times}.

Remarques en cas de loi induite

Soit {F} une partie stable de {E} pour la loi {\ast}.

Si on munit {F} de la loi induite, on dispose donc à la fois de {(E,\ast)} et de {(F,\ast)}.

  • Si la loi {\ast} sur {E} est commutative (resp. associative), il en est de même de la loi induite {\ast} sur {F}.
  • Si {e} est neutre dans {(E,\ast)}, et si {e} est dans {F}, alors bien sûr {e} est encore neutre dans {(F,\ast)}.
    Mais attention, il est possible qu’il y ait un neutre {e'} dans {F} et qu’il n’y ait pas de neutre dans {E}. Il est possible aussi qu’il y ait un neutre {e} dans {E}, mais que {e} n’appartienne pas à {F} (dans ces conditions, il est possible que {F} possède lui-même son propre neutre, ou qu’il n’en possède pas!).
  • Supposons qu’un élément {e} de {F} soit neutre dans {(E,\ast)}, donc neutre dans {(F,\ast)}.
    Soit {x} un élément de {F}. Si on examine l’inversibilité de {x} pour la loi {\ast}, il faut savoir sans ambiguïté si on parle d’inversibilité dans {F} (pour la loi {\ast} induite) ou dans {E} (pour la loi {\ast} initiale).
    Par exemple {2} est inversible dans {(\mathbb{R},\times)}, mais pas dans {(\mathbb{Z},\times)} (car {1/2} n’existe pas dans {\mathbb{Z}} !).

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