Groupes et sous-groupes

Plan du chapitre "Structures algébriques"

Structure de groupe

Définition
Soit {G} un ensemble muni d’une loi de composition {\ast}. On dit que {(G,\ast)} est un groupe si :

  • la loi {\ast} est associative, et il y a un élément neutre {e}.
  • tout élément de {G} possède un inverse.

Si de plus la loi {\ast} est commutative, on dit que {(G,\ast)} est un groupe commutatif (ou abélien).

Premières remarques

  • Par définition un groupe est toujours non vide (puisqu’il y a au moins l’élément neutre).
  • Si la loi est notée {+}, on dit que {(G,+)} est un groupe additif. Le neutre est noté {0}. On rappelle qu’une loi {+} est toujours supposée commutative, et qu’on note {-x} l’opposé (plutôt que l’inverse) de {x}.
  • En cas de loi produit (notation {\times} ou par juxtaposition), on dit que {(G,\times)} est un groupe multiplicatif.

Exemples usuels

  • Les ensembles {(\mathbb{Z},+)}, {(\mathbb{Q},+)}, {(\mathbb{R},+)} et {(\mathbb{C},+)} sont des groupes additifs.
  • Les ensembles {(\mathbb{Q}^\ast,\times)}, {(\mathbb{Q}^{+\ast},\times)}, {(\mathbb{R}^\ast,\times)}, {(\mathbb{R}^{+\ast},\times)} et {(\mathbb{C}^\ast,\times)} sont des groupes multiplicatifs.
  • L’ensemble {\mathcal{U}=\{z\in\mathbb{C},\;\left|z\right|=1\}} est un groupe multiplicatif.
    Il en est de même de l’ensemble {\mathcal{U}_{n}=\{z\in\mathbb{C},\;z^{n}=1\}} des racines {n}-ièmes de l’unité.
Définition (groupe des permutations d'un ensemble E)
Soit {E} un ensemble. On note {\mathcal{S}_{E}} l’ensemble des bijections de {E} dans {E} (on dit les permutations de {E}).
Alors {\mathcal{S}_{E}} est un groupe pour la loi de composition des applications.

Remarque : dès que l’ensemble {E} possède au moins trois éléments, le groupe {\mathcal{S}_{E}} est non commutatif.

Définition (puissances entières d'un élément)
Soit {(G,\ast)} un groupe multiplicatif, d’élément neutre {e}, et soit {x} un élément de {G}.
On définit les puissances entières {x^n} ({n\in\mathbb{Z}}) de {x} de la manière suivante :

  • on pose {x^0=e}.
  • pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, on pose {x^{n}=x\ast x^{n-1}}, c’est-à-dire {x^{n}=x\,x\,\cdots x} ({n} fois).
  • pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, on pose {x^{-n}=(x^n)^{-1}}, ou ce qui revient au même : {x^{-n}=(x^{-1})^n}.

Avec ces notations, on a : {x^n\, x^m=x^{n+m}}, et {(x^n)^m=x^{nm}} pour tout {x} de {G} et tous {m,n} de {\mathbb{Z}}.

Si les deux éléments {x} et {y} commutent, alors {(x\ast y)^n=x^n \ast y^n} (attention, c’est faux si {x\ast y\ne y\ast x}).
En notation additive, on ne note plus {x^n} mais {nx}, pour tout {n} de {\mathbb{Z}}.

Dans un groupe additif {(G,+)}, on considérera donc {3x}, par exemple, non pas comme le produit de {3} par {x}, mais comme un raccourci pour désigner {x+x+x}.

Proposition (dans un groupe tout élément est simplifiable)
Soit {G} un groupe pour la loi {\ast}.
Pour tous éléments {x,y,z} de {G}, on a les implications {\begin{cases}(x\ast y=x\ast z)\ \Rightarrow\ y=z\\(y\ast x=z\ast x)\ \Rightarrow\ y=z\end{cases}}

On exprime cette propriété en disant que dans un groupe tout élément est simplifiable.

Attention, cette propriété cesse d’être vraie si on n’est pas dans un groupe (il peut exister des éléments “non simplifiables”).

Par exemple, dans {(\mathbb{R},\times)}, on n’a pas l’implication {0x=0y\Rightarrow x=y} (mais en revanche tout réel non nul est simplifiable pour le produit).

Dans {(E,\ast)} quelconque, les implications {\begin{cases}y=z\ \Rightarrow\ (x\ast y=x\ast z)\\y=z\ \Rightarrow\ (y\ast x=z\ast x)\end{cases}} sont évidentes.

Proposition (multiplication à gauche ou à droite dans un groupe)
Soit {G} un groupe pour la loi {\ast}. Soit {a} un élément de {G}.
L’application {g_{a}:x\mapsto a\ast x} (dite “multiplication à gauche par {a}“) est bijective.
Sa bijection réciproque est {g_{a^{-1}}:x\mapsto a^{-1}\ast x} (c’est-à-dire la multiplication à gauche par {a^{-1}}).
L’application {d_{a}:x\mapsto x\ast a} (dite “multiplication à droite par {a}“) est bijective.
Sa bijection réciproque est {d_{a^{-1}}:x\mapsto x\ast a^{-1}} (c’est-à-dire la multiplication à droite par {a^{-1}}).

On peut réécrire le résultat précédent en termes de résolutions d’équations dans un groupe.

Proposition (équations a*x=b et x*a=b dans un groupe)
Soit {G} un groupe pour la loi {\ast}. Soit {a,b} deux éléments de {G}.
L’équation {a\ast x=b} possède une solution unique, à savoir {x=a^{-1}\ast b}.
L’équation {x\ast a=b} possède une solution unique, à savoir {x=b\ast a^{-1}}.

Sous-groupe : définition, caractérisation

Définition (sous-groupe d'un groupe)
Soit {(G,\ast)} un groupe et soit {H} une partie non vide de {G}.
On dit que {H} est un sous-groupe de {(G,\ast)} si :

  • l’ensemble {H} est stable pour la loi {\ast}:\quad {\forall\,(x,y)\in H^2,\;x\ast y\in H}.
  • l’ensemble {H} est “stable pour le passage à l’inverse”:\quad {\forall\, x\in H,\;x^{-1}\in H}.

Remarque : on n’oubliera pas la condition disant que {H} est une partie non vide de {G}.

La proposition suivante dit qu’un sous-groupe, c’est un groupe à part entière (le mot “sous” n’a donc rien de péjoratif : il se réfère simplement à l’inclusion des ensembles).

Proposition
Soit {H} un sous-groupe de {(G,\ast)}. On munit {H} de la loi induite.
Alors {(H,\ast)} est lui-même un groupe.
Les deux groupes {(G,\ast)} et {(H,\ast)} ont le même neutre (qui est donc élément de {H}).
Si {x} est élément de {H}, l’inverse {x^{-1}} de {x} est le même (du point de vue de {G} ou de celui de {H}).
Proposition (caractérisation des sous-groupes)
Soit {(G,\ast)} un groupe et soit {H} une partie non vide de {G}.
{H} est un sous-groupe de {(G,\ast)} si et seulement si: {\forall\,(x,y)\in H^{2},\;x\ast y^{-1}\in H}.
En notation additive : {H} est un sous-groupe de {(G,+)} si et seulement si : {\forall\,(x,y)\in H^{2},\;x-y\in H}.

Exemples

  • Soit {(G,\ast)} un groupe de neutre {e}.
    Alors {\{e\}} et {G} en sont deux sous-groupes (dits triviaux).
  • Dans {(\mathbb{Z},+)}, {(\mathbb{Q},+)}, {(\mathbb{R},+)}, {(\mathbb{C},+)}, chacun est un sous-groupe du suivant.
  • C’est la même chose avec {(\{-1,1\},\times)}, {(\mathbb{Q}^\ast,\times)}, {(\mathbb{R}^\ast,\times)}, {(\mathbb{C}^\ast,\times)}.
  • De même, {(\mathbb{R}^{+\ast},\times)} est un sous-groupe de {(\mathbb{R}^{\ast},\times)}.
  • L’ensemble {\mathcal{U}} des nombres complexes de module {1} est un sous-groupe de {(\mathbb{C}^\ast,\times)}.
  • L’ensemble {\mathcal{U}_{n}} des racines {n}-ièmes de l’unité est un sous-groupe de {(\mathcal{U},\times)}.
Proposition (intersection de sous-groupes)
Une intersection quelconque de sous-groupes de {G} est encore un sous-groupe de {G}.

Remarque : la propriété précédente est fausse pour la réunion!

Plus précisément, si {H} et {K} sont deux sous-groupes de {G}, {H\cup K} est un sous-groupe de {G} si et seulement si {H\subset K} ou {K\subset H} (et alors {H\cup K=K} ou {H\cup K=H}).


Proposition (sous-groupes de (ℤ,+))
On rappelle que si {n} est un élément de {\mathbb{N}}, on note {n\mathbb{Z}=\{kn,k\in\mathbb{Z}\}}.
Les sous-groupes de {(\mathbb{Z},+)} sont les {n\mathbb{Z}}, avec {n} dans {\mathbb{N}}.

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