Systèmes d’équations d’un sous-espace affine

Plan du chapitre "Sous-espaces affines"

Pour simplifier, on se place ici dans {\mathbb{R}^n}, muni de son repère canonique.

Intersection de {p} hyperplans affines de {\mathbb{R}^{n}}

Proposition (intersection de p hyperplans affines)
Soit {(H_i)_{1\le i\le p}} une famille de {p} hyperplans affines de {\mathbb{R}^n}, avec {1\le p\le n}. Soit {\mathcal{F}=\displaystyle\bigcap_{i=1}^{p}H_i}.
Si {\mathcal{F}\ne\emptyset}, alors {\mathcal{F}} est un sous-espace affine de {\mathbb{R}^n}, de dimension supérieure ou égal à {n-p}.

Considérons par exemple trois plans affines {\mathcal{P}_1}, {\mathcal{P}_2} et {\mathcal{P}_3} de {\mathbb{R}^3}.

La proposition précédente nous dit que si {\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2\cap\mathcal{P}_3} n’est pas vide, alors cette intersection est un sous-espace affine de dimension supérieure ou égale à {n-p=3-3=0}, ce qui est un renseignement assez vague, mais on s’aperçoit rapidement que tous les cas sont possibles :

  • L’intersection de {\mathcal{P}_1}, {\mathcal{P}_2} et {\mathcal{P}_3} peut être vide.
    C’est le cas si {\mathcal{P}_1} et {\mathcal{P}_2} sont parallèles distincts ({\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2=\emptyset} donc {\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2\cap\mathcal{P}_3=\emptyset}).
    C’est aussi le cas si {\mathcal{P}_1} et {\mathcal{P}_2} ne sont pas parallèles (leur intersection est alors une droite {\mathcal{D}}), mais si la droite {\mathcal{D}} est faiblement parallèle à {\mathcal{P}_3} sans être incluse dans {\mathcal{P}_3}.
  • L’intersection de {\mathcal{P}_1}, {\mathcal{P}_2} et {\mathcal{P}_3} peut être réduite à un point {\Omega}.
    C’est le cas si {\mathcal{P}_1} et {\mathcal{P}_2} ne sont pas parallèles (leur intersection est alors une droite {\mathcal{D}}) et si {\mathcal{D}} n’est pas faiblement parallèle à {\mathcal{P}_3} (donc si elle coupe {\mathcal{P}_3} en un point {\Omega}).
  • L’intersection {\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2\cap\mathcal{P}_3} est une droite {\mathcal{D}} si {\mathcal{P}_1}, {\mathcal{P}_2} et {\mathcal{P}_3} appartiennent au “faisceau” dirigé par la droite {\mathcal{D}} (sans être tous les trois confondus).
  • L’intersection de {\mathcal{P}_1}, {\mathcal{P}_2} et {\mathcal{P}_3} peut être un plan (si {\mathcal{P}_1=\mathcal{P}_2=\mathcal{P}_3}, bien sûr).

Un exemple

On considère les quatre hyperplans {\mathcal{H}_1}, {\mathcal{H}_2}, {\mathcal{H}_3}, et {\mathcal{H}_4} de {\mathbb{R}^5}, dont les équations respectives sont ({\lambda} représentant ici un paramètre réel) : {\begin{array}{rrrrrrrrrrrr}\mathcal{H}_1\colon&x&+&3y&+&5z&-&2t&-&7u&=&3\\\mathcal{H}_2\colon&3x&+&y&+&z&-&2t&-&u&=&1\\\mathcal{H}_3\colon&2x&-&y&-&3z&+&7t&+&5u&=&2\\\mathcal{H}_4\colon&3x&-&2y&-&5z&+&7t&+&8u&=&\lambda\end{array}}

Soit {\mathcal{F}=\mathcal{H}_1\cap\mathcal{H}_2\cap\mathcal{H}_3\cap\mathcal{H}_4} (ici {p=4} hyperplans, et on est en dimension {n=5}).

La proposition nous dit que si {\mathcal{F}\ne\emptyset}, alors c’est un sous-espace affine de {\mathbb{R}^5}, de dimension {\ge 5-4=1}.
Pour déterminer {\mathcal{F}}, on résout le système {(S)} formé par les équations des quatre hyperplans.

Après calcul, on arrive à : {\begin{array}{rl}(S)&\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rl}x&=-1+3t\\y&=8-17t-u\\z&=-4+10t+2u\\\lambda&=1\end{array}\right.\\\\&\Leftrightarrow (\lambda=1)\;\text{et}\;\begin{pmatrix}x\cr y\cr z\cr t\cr u\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\cr8\cr-4\cr0\cr0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\cr-17\cr10\cr1\cr0\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}0\cr-1\cr2\cr0\cr1\end{pmatrix}\end{array}}

Le résultat ci-dessus nous dit que si {\lambda\ne1}, alors le système {(S)} n’a pas de solutions.
Autrement dit, si {\lambda\ne1}, l’intersection {\mathcal{F}=\mathcal{H}_1\cap\mathcal{H}_2\cap\mathcal{H}_3\cap\mathcal{H}_4} est vide.

Si {\lambda=1}, {\mathcal{F}} est le plan passant par {\Omega=(-1,8,-4,0,0)} et dirigé par {\begin{cases}(3,-17,10,1,0)\cr (0,-1,2,0,1)\end{cases}}

Système d’équations d’un sous-espace de {\mathbb{R}^{n}}

Proposition (système d'équations d'un sous-espace affine)
Soit {\mathcal{F}} un sous-espace affine de {\mathbb{R}^{n}}, de dimension {n-p}, avec {1\le p\le n}.
Alors {\mathcal{F}} peut s’écrire comme l’intersection de {p} hyperplans affines.
Le système formé par les équations de ces hyperplans est appelé un système d’équations de {\mathcal{F}}.

Sauf si {F} est lui-même un hyperplan de {\mathbb{R}^{n}} (c’est-à-dire si {p=1}), il n’y a pas (loin de là) unicité de la famille d’hyperplans d’intersection {F} (donc unicité du système d’équations).

Un exemple

On se place ici dans {\mathbb{R}^5}, muni de son repère canonique.
On note {(x,y,z,t,u)} les coordonnées d’un point {M} de {E}.
Soit {\mathcal{F}} le sous-espace passant par {A(1,0,1,2,-1)} et dirigé par les vecteurs {\begin{cases}w_1=(1,-1,2,1,1)\cr w_2=(1,1,3,0,1)\cr w_3=(1,2,0,1,1)\end{cases}} 
Dire que {M} est dans {\mathcal{F}}, c’est dire que {\overrightarrow{AM}} est dans {\text{Vect}(w_1,w_2,w_3)}.

On utilise une méthode la méthode du pivot : {\begin{array}{l}\begin{array}{llll}\left(\begin{array}{lll|l}w_{1}&w_{2}&w_{3}&\overrightarrow{AM}\cr 1&1&1&x-1\cr -1&1&2&y\cr 2&3&0&z-1\cr 1&0&1&t-2\cr 1&1&1&u+1\end{array}\right)\\\\\begin{matrix}\Longrightarrow\cr\text{L}_2\leftarrow\text{L}_2+\text{L}_1\cr \text{L}_3\leftarrow\text{L}_3-2\text{L}_1\cr \text{L}_4\leftarrow\text{L}_4-\text{L}_1\cr\text{L}_5\leftarrow\text{L}_5-\text{L}_1\end{matrix}\quad\begin{pmatrix}1&1&1&x-1\cr 0&2&3&x+y-1\cr 0&1&-2&-2x+z+1\cr 0&-1&0&-x+t-1\cr 0&0&0& -x+u+2\end{pmatrix}\\\\\begin{matrix}~\cr\Longrightarrow\cr\text{L}_3\leftarrow2\text{L}_3-\text{L}_2\cr\text{L}_4\leftarrow2\text{L}_4+\text{L}_2\cr~\end{matrix}\begin{pmatrix}1&1&1&x-1\cr 0&2&3&x+y-1\cr 0&0&-7&-5x-y+2z+3\cr 0&0&3&-x+y+2t-3\cr 0&0&0&u-x+2\end{pmatrix}\\\\\begin{matrix}~\cr~\cr\Longrightarrow\cr\text{L}_4\leftarrow7\text{L}_4+3\text{L}_3\cr~\end{matrix}\left(\begin{array}{lll|l}w'_{1}&w'_{2}&w'_{3}& w'_{4}\cr 1&1&1&x-1\cr 0&2&3&x+y-1\cr 0&0&-7&-5x-y+2z-1\cr 0&0&0&-22x+4y+6z+14t-12\cr 0&0&0&u-x+2\end{array}\right)\end{array}\end{array}}
La méthode du pivot ne modifie pas le rang de la famille des vecteurs à laquelle est s’applique.
Ici on a transformé les vecteurs {w_{1},w_{2},w_{3},\overrightarrow{AM}} en les vecteurs {w'_{1},w'_{2},w'_{3},w'_{4}}.

Il est clair que {w'_{1},w'_{2},w'_{3}} sont libres (coefficients “échelonnés”).
Cela confirme que {w_{1},w_{2},w_{3}} sont libres, donc que {\mathcal{F}} est bien de dimension {3}.

De même, dire que {\overrightarrow{AM}} est lié à {w_{1},w_{2},w_{3}}, c’est dire que {w'_{4}} est lié à {w'_{1},w'_{2},w'_{3}}.

Mais le résultat précédent montre que cela équivaut à {\begin{cases}11x-2y-3z-7t=-6\cr x-u=2\end{cases}}

On a donc obtenu un système d’équations de {\mathcal{F}}, qui est ici l’intersection de deux hyperplans.

Droites dans {\mathbb{R}^{3}}

Soit {\mathcal{D}} une droite affine de {\mathbb{R}^{3}}. Un système d’équations de {\mathcal{D}} est {\begin{cases}ax+by+cz=d\cr a'x+b'y+c'z=d'\end{cases}}

(où {(a,b,c)} et {(a',b',c')} sont non proportionnels).

Ainsi définie, {\mathcal{D}=\mathcal{P}\cap\mathcal{P}'}{\begin{cases}\mathcal{P} \text{\ est le plan d'équation}\ ax+by+cz=d\\\mathcal{P}' \text{\ est le plan d'équation}\ a'x+b'y+c'z=d'\end{cases}}

Un vecteur directeur de la doite {\mathcal{D}}est {u=\begin{pmatrix}a\\b\\ c\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}a'\\ b'\\ c'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}bc'-cb'\\ ca'-ac'\\ ab'-ba'\end{pmatrix}}.

Le système {\begin{cases}ax+by+cz=0\\ a'x+b'y+c'z=0\end{cases}} caractérise la direction {D} de {\mathcal{D}}.
Les droites parallèles à {\mathcal{D}} ont pour système d’équations : {\begin{cases}ax+by+cz=\alpha\cr a'x+b'y+c'z=\beta\end{cases}} avec {(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2}.

Les équations {\lambda(ax+by+cz-d)+\mu(a'x+b'y+c'z-d')=0} (avec {(\lambda,\mu)\ne(0,0)}) sont celles des plans contenant la droite {\mathcal{D}} (c’est le faisceau de plans dirigé par {\mathcal{D}}).

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