Sous-espaces affines

Plan du chapitre "Sous-espaces affines"

Translaté d’un sous-espace vectoriel

Définition (translaté d'un sous-espace vectoriel)
Soit {A} un point de {E}, et {F} un sous-espace vectoriel de {E}. On note {A+F=\{A+u,u\in F\}}.
Autrement dit, {A+F} est l’image de {F} par la translation {u\mapsto A+u}.
Proposition (égalité de deux translatés de sous-espaces vectoriels)
Soit {A,B} deux points de {E}, et soit {F,G} deux sous-espaces vectoriels de {E}.
On a l’équivalence {A+F=B+G\Leftrightarrow (F=G\;\text{et}\; \overrightarrow{AB}\in F)}
Définition (sous-espace affine d'un espace vectoriel)
Soit {\mathcal{F}} une partie de l’espace vectoriel {E}. On dit que {\mathcal{F}} est un sous-espace affine de {E} s’il existe un point {A} et un sous-espace vectoriel {F} tel que {\mathcal{F}=A+F}.
On voit que {A} est dans {\mathcal{F}} (prendre {0} dans {F}). On sait également (proposition précédente) que {F} est défini de façon unique par l’égalité {\mathcal{F}=A+F}.
On dit alors que {\mathcal{F}=A+F} est le sous-espace affine de {E} « passant par {A} et de direction {F} ».

Remarques et propriétés

  • Un sous-espace affine est toujours non vide.
    Les singletons de {E} sont les sous-espaces affines de direction {\{0\}}.
    L’ensemble {E} est un sous-espace affine de lui-même, de direction {E}.

  • Les sous-espaces affines de {E} sont les translatés des sous-espaces vectoriels de {E}.
    Les sous-espaces vectoriels {F} de {E} sont les sous-espaces affines qui passent par l’origine.
    Si {F} est un sous-espace vectoriel de {E}, il est sa propre direction.

  • Soit {\mathcal{F}} un sous-espace affine de {E}, de direction {F}. Pour tout point {B\in\mathcal{F}}, on a {\mathcal{F}=B+F}.
    Un sous-espace affine est donc défini par sa direction et par l’un quelconque de ses points.
  • Deux sous-espaces affines sont égaux {\Leftrightarrow} (ils ont la même direction et un point en commun).

Dimension d’un sous-espace affine

Définition (sous-espaces affines de dimension finie)
Soit {F} un sous-espace vectoriel de {E}, et {\mathcal{F}} un sous-espace affine de {E} de direction {F}.
On dit que {\mathcal{F}} est de dimension finie si {F} est lui-même de dimension finie.
Dans ce cas on note {\dim\mathcal{F}=\dim F}. En particulier :

  • les singletons de {E} sont les sous-espaces affines de dimension {0}.
  • on appelle droites affines les sous-espaces affines de dimension {1}.
  • on appelle plans affines les sous-espaces affines de dimension {2}.
  • si {F} est un hyperplan de {E}, on dit que {\mathcal{F}} est un hyperplan affine de {E}.

Sur la figure ci-dessous, on se place ici dans un espace de dimension {3}. On y voit un plan affine {\mathcal{F}} passant par un point {A}, et de direction un plan vectoriel {F} de base {(u,v)}.

Dire que {B} est dans {\mathcal{F}}, c’est dire que le vecteur {\overrightarrow{AB}} est dans {F} : cela équivaut à dire que {\overrightarrow{AB}} est une combinaison linéaire de {u} et {v}.

Points alignés, points coplanaires

Définition (points alignés, points coplanaires)
On dit que des points de {E} sont alignés s’ils appartiennent à une même droite affine.
On dit qu’ils sont coplanaires s’ils appartiennent à un même plan affine.
  • Deux points {A,B} sont toujours alignés.
    S’ils sont distincts, ils appartiennent à la seule droite {\mathcal{D}=(A,\overrightarrow{AB})}.

    Trois points {A,B,C} sont alignés si et seulement si les vecteurs {\overrightarrow{AB}} et {\overrightarrow{AC}} sont liés.
    Si les trois points {A,B,C} ne sont pas alignés, on dit parfois qu’ils forment un vrai triangle.

  • Trois points {A,B,C} sont toujours coplanaires.
    Supposons qu’ils ne soient pas alignés (donc que les vecteurs {\overrightarrow{AB}} et {\overrightarrow{AC}} soient libres).
    Alors ils appartiennent au seul plan {\mathcal{P}=(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})}.
    Ce plan peut tout aussi bien être noté {(B,\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})} ou {(C,\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})}.

    Quatre points {A,B,C,D} sont coplanaires si et seulement si les vecteurs {\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}} sont liés.

Exemples de sous-espaces affines

Proposition (image réciproque d'un point par une application linéaire)
Soit {E,F} deux {\mathbb{R}}-espaces vectoriels, et soit {f} dans {{\mathcal L}(E,F)}. Soit {b} un vecteur de {F}.
Supposons que {\mathcal{S}=\{u\in E,f(u)=b\}} soit non vide, c’est-à-dire que {b} appartienne à {\text{Im}(f)}.
Alors {\mathcal{S}} est un sous-espace affine de {E}, de direction {\text{Ker}(f)}.

{\triangleright} Solution générale d’un système linéaire

Considérons un système linéaire {(S)} à {p} inconnues.
La solution générale de {(S)}, si elle n’est pas vide, est un sous-espace affine de {\mathbb{R}^p}.

{\triangleright} Solution générale d’une équation différentielle linéaire d’ordre {2}

Considérons l’espace {E=\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})} des fonctions indéfiniment dérivables de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}.

Soit l’équation différentielle {(\star) : y''-5y'+6y=6}.
Son équation caractéristique est {(r-2)(r-3)=0}.

L’application {f} qui à une fonction {y} de {E} associe la fonction {y''-5y'+6y} est un endomorphisme de {E}.
Chercher le noyau de {f}, c’est résoudre l’équation homogène associée à {(\star)}.
Résoudre {(\star)}, c’est trouver l’image réciproque de la fonction {x\mapsto 6} par l’endomorphisme {f}.

On sait que la solution {\mathcal{S}_{H}} de l’équation homogène (donc {\text{Ker}(f)}) est un plan vectoriel.
Ce plan est l’ensemble des fonctions {x\mapsto y(x)=\lambda \text{e}^{2x}+\mu \text{e}^{3x}}, où {(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^{2}}.

On constate que la fonction constante {x\mapsto 1} est solution de l’équation {(E)}.

La solution générale {\mathcal{S}_{\star}} de {(\star)}, c’est-à-dire {f^{-1}(1)}, s’écrit donc : {x\mapsto 1+\lambda \text{e}^{2x}+\mu \text{e}^{3x}\text{\ avec\ }(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^{2}}
L’ensemble {\mathcal{S}_{\star}} est donc un sous-espace affine de {\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}, de direction {\mathcal{S}_{H}}.

{\triangleright} Solution générale d’une récurrence linéaire d’ordre {2}

Considérons l’espace {E=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}} des suites à valeurs réelles.

Considérons la récurrence {(\star) : u_{n+2}-5u_{n+1}+6u_{n}=2}.
Son équation caractéristique est {(r-2)(r-3)=0}).

Soit {(H) : u_{n+2}-5u_{n+1}+6u_{n}=0} la récurrence linéaire homogène associée.

L’application {f} qui à une suite {(u_{n})_{n\ge0}} associe la suite {n\mapsto u_{n+2}-5u_{n+1}+6u_{n}} est dans {\mathcal{L}(E)}.
Chercher le noyau de {f}, c’est résoudre la récurrence linéaire homogène {(H)}.
Résoudre {(\star)}, c’est trouver l’image réciproque de la suite {n\mapsto 1} par l’endomorphisme {f}.

La solution générale {\mathcal{S}_{H}} de {(H)} s’écrit {n\mapsto u_{n}=\lambda 2^{n} +\mu 3^{n}}, avec {(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^{2}}.
On constate que la suite constante {n\mapsto 1} est solution de l’équation {(\star)}.
La solution générale {\mathcal{S}_{\star}} de {(\star)} s’écrit donc {x\mapsto 1+\lambda 2^{n} +\mu 3^{n}}, avec {(\lambda,\mu)} dans {\mathbb{R}^{2}}.

L’ensemble {\mathcal{S}_{\star}} est donc un sous-espace affine de {\mathbb{R}^{\mathbb{N}}}, de direction {\mathcal{S}_{H}}.

{\triangleright} Retour à l’interpolation polynomiale

On se donne {n} couples {(x_{k},y_{k})_{1\le k\le n}} de {\mathbb{R}^{2}}, les {x_{k}} étant distincts deux à deux.

L’application {f\colon\mathbb{R}[X]\to \mathbb{R}^{n}} qui à {P} associe {(P(x_{1}),P(x_{2}),\ldots,P(x_{n}))} est linéaire.

Le noyau de {f} est l’ensemble des multiples de {M=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(X-x_{k})}.

Soit {Y=(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n})}. On a {\Big\{P\in\mathbb{R}[X],\;\forall\, k\in\{1,\ldots,n\Big\},\;P(x_{k})=y_{k}\}=f^{-1}(Y)}.

On sait qu’il existe un unique {A} de {\mathbb{R}_{n-1}[X]}, tel que {f(A)=Y}.
En d’autres termes, la restriction {f_{n}} de {f} à {\mathbb{R}_{n-1}[X]} est un isomorphisme de {\mathbb{R}_{n-1}[X]} sur {\mathbb{R}^{n}}.

L’ensemble des polynômes qui “interpolent” la famille des {(x_{k},y_{k})} est l’ensemble des {P=A+QM}, avec {Q} quelconque dans {\mathbb{R}[X]} : on obtient donc un sous-espace affine de {\mathbb{R}[X]}, passant par le polynôme {A}, et dont la direction est l’ensemble des multiples du polynôme {M}.

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