Paramétrage d’un sous-espace affine

Plan du chapitre "Sous-espaces affines"

Soit {\Omega} un point de {E}, et {F} un sous-espace vectoriel de {E}, de base {u_1,u_2,\ldots,u_p}.
Soit {\mathcal{F}} le sous-espace affine de {E}, passant par {\Omega} et de direction {F}.
On dit que {\mathcal{R}=\{\Omega,(u_1,u_2,\ldots,u_p)\}} est un repère cartésien de {\mathcal{F}}.
Un point {M} est dans {\mathcal{F}} si seulement si: {\;(\star)\ \exists\,(\lambda_1,\ldots\lambda_p)\in\mathbb{R}^p,<br /> \;M=\Omega+\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_ku_k}.
Le repère cartésien {\mathcal{R}} nous a donc permis d’obtenir une “représentation paramétrique” de {F}.
Réciproquement, {(\star)} définit le sous-espace affine passant par {\Omega} et de direction {F=\text{Vect}(u_1,\ldots,u_p)}.
On dit souvent, par abus de langage, que le sous-espace affine {\mathcal{F}} est dirigé par les vecteurs {u_1,\ldots,u_p}.

Cas particulier des droites affines

Une partie {\mathcal{D}} de {E} est une droite affine si et seulement si il existe un point {\Omega} de {E} et un vecteur non nul {u} de {E} tels que: {M\in\mathcal{D}\Leftrightarrow\bigl(\exists\,\lambda\in\mathbb{R},\;M=\Omega+\lambda u\bigr)}.

On peut alors noter {\mathcal{D}=\mathcal{D}(\Omega,u)} et on dit que {u} est un vecteur directeur de {\mathcal{D}}.

Si {M=\Omega+\lambda u}, on dit aussi que {\lambda} est l’abscisse de {M} sur l’axe {\mathcal{D}(\Omega,u)}.

Si {M=\Omega+\lambda u} et {N=\Omega+\mu u}, alors la quantité {\overline{MN}=\mu-\lambda} est appelée mesure algébrique du vecteur {\overrightarrow{MN}} sur l’axe {\mathcal{D}(\Omega,u)} (cette mesure ne dépend pas du choix du point {\Omega} de {\mathcal{D}}).

Cas particulier des plans affines

Une partie {\mathcal{P}} de {E} est un plan affine si et seulement si il existe un point {\Omega} de {E} et deux vecteurs indépendants {u,v} de {E} tels que: {M\in\mathcal{P}\Leftrightarrow\bigl(\exists\,(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2,\;M=\Omega+\lambda u+\mu v\bigr)}.
On peut alors noter {\mathcal{P}=\mathcal{P}(\Omega,u,v)}.

Exemple

On se place dans {\mathbb{R}^3} muni de sa base canonique.
Soit {\mathcal{P}} le plan (l’hyperplan) passant par {\Omega=(1,2,3)} et dirigé par les vecteurs {\begin{cases}u=(3,1,2)\cr v=(4,0,5)\end{cases}}

On a l’équivalence: {M\in\mathcal{P}\Leftrightarrow\exists\,(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2,\begin{cases}x=1+3\lambda+4\mu\\ y=2+\lambda\\ z=3+2\lambda+5\mu\end{cases}}

Ce qui précède constitue un paramétrage de {\mathcal{P}}.

Réciproquement, on voit bien que ce système caractérise un plan passant par {\Omega=(1,2,3)} (poser {\lambda=\mu=0}) et dirigé par {u=(3,1,2)} (coefficients de {\lambda}) et {v=(4,0,5)} (coefficients de {\mu}).

Demi-droites, demi-plans

Soit {A} un point de {E} et {u} un vecteur non nul.
On dit que {\{M=A+\lambda u,\,\lambda\in\mathbb{R}^+\}} est la demi-droite d’origine {A} et de vecteur directeur {u}.

Soit {A} un point de {E} et {u,v} deux vecteurs indépendants.
Considérons l’ensemble {\mathcal{P}^+} défini par {\mathcal{P}^+=\{M=A+\lambda u+\mu v,\,\lambda\in\mathbb{R},\mu\in\mathbb{R}^+\}}.
On dit que {\mathcal{P}^+} est le demi-plan défini par la droite {(A,u)} et le vecteur {v}.

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