Parallélisme et intersection

Plan du chapitre "Sous-espaces affines"

Parallélisme de sous-espaces affines

Définition (sous espaces affines parallèles)
Soit {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} deux sous-espaces affines de {E}, de directions respectives {F} et {G}.
On dit que {\mathcal{F}} est faiblement parallèle à {\mathcal{G}} si on a l’inclusion {F\subset G}.
On dit que {\mathcal{F}} est parallèle à {\mathcal{G}} (ou encore que {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} sont parallèles) si on a l’égalité {F=G}.

Remarques et exemples

  • Si {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} ont même dimension, les deux notions précédentes sont équivalentes.
  • Un singleton est faiblement parallèle à n’importe quel sous-espace affine.
    Une droite peut être faiblement parallèle à un plan, mais l’inverse est impossible.
    Si deux sous-espaces affines de dimension finie sont parallèles, ils ont même dimension.
  • Deux droites affines sont parallèles si et seulement si elles ont un vecteur directeur commun.
  • On pourra noter {\mathcal{F}\parallel\mathcal{G}} pour exprimer que {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} sont parallèles.
    On définit ainsi une relation d’équivalence sur l’ensemble des sous-espaces affines de {E}.
  • {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} sont parallèles {\Leftrightarrow} il existe {u} dans {E} tel que {t_u(\mathcal{F})=\mathcal{G}}.
    Plus précisément, si {\mathcal{F}\parallel\mathcal{G}} on a {\mathcal{G}=t_u(\mathcal{F})} pour tout vecteur {u=\overrightarrow{AB}} tel que {A\in\mathcal{F}} et {B\in\mathcal{G}}.
  • Soit {\mathcal{F}} un sous-espace affine de {E}, et {A} un point de {E}.
    Par le point {A}, il passe un unique sous-espace affine parallèle à {\mathcal{F}}.
  • Un sous-espace affine {\mathcal{F}} est parallèle à sa propre direction {F}.
    Celle-ci est d’ailleurs l’unique sous-espace affine parallèle à {\mathcal{F}} et passant par {O}.
  • Soit {\mathcal{F},\mathcal{G}} deux sous-espaces affines de {E}. On suppose que {\mathcal{F}} est parallèle à {\mathcal{G}}.
    Alors il existe un unique sous-espace affine {\mathcal{F}'} contenant {\mathcal{F}} et tel que {\mathcal{F}'} et {\mathcal{G}} soient parallèles.

Sur cette figure, on voit une droite {\mathcal{F}} faiblement parallèle au plan {\mathcal{G}}.
Il existe un plan unique {\mathcal{F}'}contenant {\mathcal{F}} et parallèle à {\mathcal{G}}.
En revanche, {\mathcal{G}} contient une infinité de droites parallèles à {\mathcal{F}}.

Intersection de sous-espaces affines

Proposition (parallélisme et intersection de sous-espaces affines)
Soit {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} deux sous-espaces affines de {E}.
Si {\mathcal{F}} est faiblement parallèle à {\mathcal{G}}, alors ou bien {\mathcal{F}\cap\mathcal{G}=\emptyset} ou bien {\mathcal{F}\subset\mathcal{G}}.
Si {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} sont parallèles, alors ils sont disjoints ou confondus.
Proposition (intersection de sous-espaces affines)
Soit {\mathcal{F},\mathcal{G}} deux sous-espaces affines de {E}, de directions respectives {F} et {G}.
L’intersection {\mathcal{F}\cap\mathcal{G}}, si elle n’est pas vide, est un sous-espace affine de direction {F\cap G}.
Si {E=F+G}, alors on est certain que l’intersection {\mathcal{F}\cap\mathcal{G}} n’est pas vide.
Si {E=F\oplus G}, alors l’intersection {\mathcal{F}\cap\mathcal{G}} se réduit à un singleton.

Cas particuliers

  • Soit {\mathcal{H}} un hyperplan affine de {E}, et soit {\mathcal{D}} une droite affine, non faiblement parallèle à {\mathcal{H}}.
    Alors la droite {\mathcal{D}} “coupe” l’hyperplan {\mathcal{H}} en un point et un seul.
  • En particulier, si {\dim E=2}, deux droites non parallèles ont un unique point en commun.
    Si {\dim E=3}, une droite {\mathcal{D}} non parallèle à un plan {\mathcal{P}} rencontre ce plan en un point unique.
  • Soit {\mathcal{P}_1} et {\mathcal{P}_2} deux plans affines de {E}, avec {\dim E=3}.
    Si {\mathcal{P}_1} et {\mathcal{P}_2} ne sont pas parallèles, alors leur intersection est une droite.

  • Si {\dim E\ge4}, il est possible que deux plans {\mathcal{P}_1} et {\mathcal{P}_2} de {E} soient disjoints.

Droites coplanaires

Supposons {\dim E\ge3}, et soient {\mathcal{D}_1} et {\mathcal{D}_2} deux droites affines de {E}.

  • On dit que {\mathcal{D}_1} et {\mathcal{D}_2} sont coplanaires si elles sont incluses dans un même plan affine {\mathcal{P}}.
    Cela équivaut à dire que {\mathcal{D}_1} et {\mathcal{D}_2} sont parallèles ou concourantes.
    Si {\mathcal{D}_1=(A,u)} et {\mathcal{D}_2=(B,v)}, cela équivaut à dire que {\text{rg}(\overrightarrow{AB},u,v)\le2}.
    Dans ce cas, et si {\mathcal{D}_1\ne\mathcal{D}_2}, le plan {\mathcal{P}} est défini de manière unique par {\mathcal{D}_1} et {\mathcal{D}_2}.

  • Si les droites {\mathcal{D}_1} et {\mathcal{D}_2} ne sont pas coplanaires, leur intersection est vide.

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