Équation cartésienne d’un hyperplan

Plan du chapitre "Sous-espaces affines"
Proposition (caractérisation et équation d'un hyperplan affine)
Soit {\mathcal{H}} une partie de l’espace vectoriel {E}. Les conditions suivantes sont équivalentes :

  • L’ensemble {\mathcal{H}} est un hyperplan affine de {E}.
  • Il existe une forme linéaire {f} non nulle et un scalaire {\alpha} tels que: {M\in\mathcal{H}\Leftrightarrow f(M)=\alpha}.
    Une telle caractérisation est appelée une équation de l’hyperplan {\mathcal{H}}.

Remarques :
L’équation {f(M)=\alpha} de l’hyperplan {\mathcal{H}} est unique à un facteur multiplicatif non nul près.
Avec les notations précédentes : Les équations {f(M)=\beta} sont celles des hyperplans parallèles à {\mathcal{H}}.
Par exemple {f(M)=f(M_0)} est l’équation de l’hyperplan parallèle à {\mathcal{H}} et passant par {M_0}.
L’équation {f(M)=0} est celle de la direction {H} de {\mathcal{H}}.

Équation cartésienne d’un hyperplan de {\mathbb{R}^n}

On se place dans {\mathbb{R}^n}, muni de son repère canonique.

Soit {(x_1,x_2,\ldots,x_n)} les coordonnées d’un point {M} quelconque de {\mathbb{R}^n} dans ce repère.
L’équation d’un hyperplan {\mathcal{H}} s’écrit: {\displaystyle\sum_{k=1}^na_k x_k=\alpha}, où {\alpha} est un scalaire et où les {a_k} sont non tous nuls.
Quand on fait varier {\beta}, on obtient les équations {\displaystyle\sum_{k=1}^na_k x_k=\beta} des hyperplans affines parallèles à {\mathcal{H}}.
L’équation {\displaystyle\sum_{k=1}^na_k x_k=0} est celle de l’hyperplan vectoriel {H} direction de {\mathcal{H}}.

Soit {\Omega} un point de {\mathbb{R}^n}, de coordonnées {(\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_n)}.
L’hyperplan de direction {H} et passant par {\Omega} a pour équation: {\displaystyle\sum_{k=1}^na_k(x_k-\omega_k)=0}.

Parallélisme de deux hyperplans de {\mathbb{R}^n}

Considérons les équations {\begin{cases}a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=\alpha\\b_1x_1+b_2x_2+\cdots+b_nx_n=\beta\end{cases}} de deux hyperplans {\mathcal{H}_1} et {\mathcal{H}_2} de {\mathbb{R}^n}.

Les deux hyperplans sont parallèles si et seulement si on a les égalités: {\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac {a_2}{b_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{b_n}}.

Ils sont confondus si et seulement si: {\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac {a_2}{b_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{\alpha}{\beta}}

(par convention, si un dénominateur est nul, le numérateur correspondant l’est également).

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