Barycentres et repères affines

Plan du chapitre "Sous-espaces affines"

Barycentres

{E} désigne un espace vectoriel sur {\mathbb{R}}.

Définition (points pondérés)
On appelle point pondéré le couple {(A,\lambda)} formé d’un point {A} de {E} et d’un réel {\lambda}.
On dit que le réel {\lambda} est le poids du point pondéré {(A,\lambda)}.
Soit {(A_1,\lambda_1),(A_2,\lambda_2),\ldots,(A_p,\lambda_p)} une famille de {p} points pondérés.
La quantité {m=\displaystyle\sum_{k=1}^{p}\lambda_k} est appelée poids total de ce système de points.
Définition (barycentre d'une famille de points pondérés)
Soit {(A_1,\lambda_1),(A_2,\lambda_2),\ldots,(A_p,\lambda_p)} une famille de {p} points pondérés.
On suppose que le poids total {m} de cette famille est non nul.
Il existe alors un unique point {G} de {E} tel que : {\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_k \overrightarrow{GA_k}=0}.
Il est défini par : {G=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_k A_k}.
On dit que {G} est le barycentre des points pondérées {(A_k,\lambda_k)}.

On ne modifie pas le barycentre {G} en multipliant les poids {\lambda_k} par un même coefficient non nul {\mu}.
En particulier, en choisissant {\mu=\dfrac1m}, on peut toujours se ramener à {\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_k=1}.
Dans ce cas le barycentre {G} est défini par {G=\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_k A_k}.

Isobarycentre

Si les poids {\lambda_{k}} sont constants, on obtient l’isobarycentre (ou équibarycentre) de {A_1,A_2,\ldots,A_p}.
On peut bien sûr choisir {\lambda=\dfrac1p}. L’isobarycentre {G} est alors défini par l’égalité {G=\dfrac1p\displaystyle\sum_{k=1}^p A_k}.
L’isobarycentre de {A,B} est le milieu {G=\dfrac{1}{2}(A+B)} du segment {[A,B]}.
L’isobarycentre de {A,B,C} est le centre de gravité {G=\dfrac13(A+B+C)} du triangle {ABC}.

Parallélogramme

Soit {A,B,C,D} quatre points de {E}. On a les équivalences suivantes : {\begin{array}{rl}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}&\Leftrightarrow\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow\exists\, u\in E,\begin{cases}t_u(A)=D\cr t_u(B)=C\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow [A,C]\;\text{et}\; [B,D]\text{\ ont même milieu}\end{array}}
On exprime ces conditions en disant que {A,B,C,D} (dans cet ordre) forment un parallélogramme.
Il en est alors de même pour les quadruplets {B,C,D,A}, ou {C,D,A,B}.
Le milieu commun {I} de {[A,C]} et {[B,D]} vérifie :{I=\dfrac12(A+C)=\dfrac12(B+D)=\dfrac14(A+B+C+D)}
Autrement dit, {I} est l’isobarycentre des quatre points {A,B,C,D}.

Associativité du barycentre

  • Lorsqu’on cherche un barycentre {G}, on peut remplacer une sous-famille de points (de poids total {m_k} non nul) par le barycentre {G_k} de cette sous-famille affecté lui-même du poids {m_k}.
  • L’isobarycentre {G} des points {A,B,C} est aussi le barycentre de {(A,1),(I,2)}, où {I=\dfrac12(B+C)}.
    Autrement dit {\overrightarrow{AG}=\dfrac23\overrightarrow{AI}}. Les médianes d’un triangle sont donc concourantes en son centre de gravité {G}, qui est au deux-tiers de chaque médiane en partant du sommet.

  • De même, on se donne quatre points {A,B,C,D} non coplanaires : ils forment un vrai tétraèdre.
    Soit {G} l’isobarycentre de {A,B,C,D}, et soit {I} celui de {B,C,D}.
    Par associativité, {G} est le barycentre de {(A,1)} et {(I,3)}. Autrement dit {\overrightarrow{AG}=\dfrac34\overrightarrow{AI}}.
    Ainsi, dans un tétraèdre, les segments joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée sont concourants en le centre de gravité du tétraèdre. Celui-ci est aux trois quarts de chacun de ces segments (en partant du sommet du tétraèdre.)

Barycentres et sous-espaces affines

Proposition (stabilité d'un sous-espace affine par barycentration)
Soit {\mathcal{F}} un sous-espace affine de {E}. Soient {(A_1,\lambda_1),\ldots,(A_p,\lambda_p)} des points pondérés de {\mathcal{F}}.
On suppose que {m=\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_k\ne0}. Soit {G} le barycentre des {(A_k,\lambda_k)}.
Alors le point {G} appartient au sous-espace affine {\mathcal{F}}.

On peut se demander réciproquement si tout point de {\mathcal{F}} peut être considéré comme le barycentre d’une famille fixée de points de {\mathcal{F}}. La réponse fait l’objet de la définition et de la proposition suivantes.

Définition (repère affine d'un sous-espace affine de dimension p)
Soit {\mathcal{F}} un sous-espace affine de dimension {p\ge1} de {E}.
On dit que {p+1} points {A_0,A_1,\ldots,A_p} de {\mathcal{F}} en forment repère affine si les vecteurs {\overrightarrow{A_0A_1},\overrightarrow{A_0A_2},\ldots,\overrightarrow{A_0A_p}} sont libres, c’est-à-dire s’ils forment une base de la direction {F} de {\mathcal{F}}.
Proposition (coordonnées dans un repère affine)
Soit {\mathcal{F}} un sous-espace affine de dimension {p\ge1} de {E}.
Soit {A_0,A_1,\ldots,A_p} un repère affine de {\mathcal{F}}.
Alors tout point {M} de {\mathcal{F}} est, d’une façon unique, le barycentre des {(A_k,\lambda_{k})}, avec {\displaystyle\sum_{k=0}^p\lambda_k=1}.
Les {\lambda_k} sont appelés coordonnées (barycentriques) de {M} dans ce repère affine.

Repères affines d’une droite ou d’un plan

  • Deux points distincts d’une droite en forment un repère affine.
    Si {A,B} sont distincts, la droite {(AB)} est l’ensemble des {M=\alpha A+\beta B} avec {\alpha +\beta =1}.

  • Trois points non alignés d’un plan en forment un repère affine.
    Soient {A,B,C} trois points non alignés de {E}.
    Le plan {(ABC)} est l’ensemble des {M=\alpha A+\beta B+\gamma C} avec {\alpha +\beta +\gamma =1}.

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