Séries entières d’une variable réelle

Plan du chapitre "Séries numériques"

Rayon de convergence et somme d’une série entière

Définition (série entière d'une variable réelle)
Soit {(a_{n})_{n\ge0}} une suite de nombres réels ou complexes. Soit {x} une variable réelle.
On dit que la série numérique {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} est une série entière de coefficients {a_{n}}.
La fonction {x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}} est appelée somme de la série entière.

Remarque : la fonction {S} est toujours définie au moins en {0}, et on a {S(0)=a_{0}}.

Exemples

  • La série entière {\displaystyle\sum x^{n}} est définie sur {]-1,1[} et sa somme est {\dfrac{1}{1-x}}.
  • La série entière {\displaystyle\sum \dfrac{x^{n}}{n!}} est définie sur {\mathbb{R}} et sa somme est {\text{e}^{x}}.
  • La série entière {\displaystyle\sum n!\,x^{n}} n’est définie qu’en {x=0}.
Définition (rayon de convergence d'une série entière)
Soit {(a_n)_{n\ge0}} une suite de nombres réels ou complexes.
L’ensemble {\{\rho\in\mathbb{R}^{+},\;(\left|a_{n}\right|\rho^n)_{n\ge0}\text{\ est bornée}\}} est non vide (il contient {0}).
Sa borne supérieure {R} dans {\overline{\mathbb{R}}} est appelée rayon de convergence de la série entière {\displaystyle\sum a_n\,x^n}.

L’appellation rayon de convergence est justifiée par la proposition suivante :

Proposition (intervalle ouvert de convergence d'une série entière)
Soit {\displaystyle\sum a_n\,x^n} une série entière de rayon de convergence {R} (où {R} est dans {\mathbb{R}^{+}\cup\{+\infty\}}).

  • la série {\displaystyle\sum a_n\,x^n} est absolument convergente pour {\left|x\right|\lt R}.
  • la série {\displaystyle\sum a_n\,x^n} est grossièrement divergente pour {\left|x\right|>R}.

On dit que {]-R,R\,[} est l’intervalle ouvert de convergence de la série entière {\displaystyle\sum a_n\,x^n}.

Remarques

  • Si {R=0}, l’intervalle ouvert de convergence est vide (ça ne présente que peu d’intérêt).
  • Si {R>0}, la somme {S(x)=\displaystyle\sum a_n\,x^n} est donc définie sur l’intervalle ouvert de convergence {]-R,R\,[}. Il est possible que la série diverge ou converge en {x=-R} ou/et en {x=R} (c’est-à-dire sur le bord de l’intervalle ouvert), mais on ne peut rien dire de général (et ça n’est pas important).
  • On ne change pas le rayon de convergence de {\displaystyle\sum a_nx^n} en modifiant un nombre fini de coefficients {a_n} (en revanche, on modifie très certainement la somme de cette série entière).
    On considère parfois (souvent) des séries entières {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} dont le terme général n’est défini qu’à partir d’un certain rang {n_{0}}. On notera alors {\displaystyle\sum_{n\ge n_{0}}a_{n}x^{n}}.
  • Les séries entières {\displaystyle\sum a_nx^n}, {\displaystyle\sum(-1)^na_nx^n} ou {\displaystyle\sum\left|a_{n}\right|x^n} ont le même rayon de convergence (ça vient de la définition du rayon de convergence où n’intervient en fait que le module des {a_{n}}).

Comparaisons ou calculs de rayons de convergence

Proposition (comparaisons ou calculs de rayons de convergence)
Soit {R_{a}} le rayon de convergence de {\displaystyle\sum a_n\,x^n}, et soit {R_{b}} celui de {\displaystyle\sum b_n\,x^n}.
Si {a_{n}=\text{O}(b_{n})} (c’est-à-dire : {\exists\, n_{0}\in\mathbb{N},\;\exists\, \lambda>0,\forall\, n\ge n_{0},\;\left|a_{n}\right|\le \lambda\left|b_{n}\right|}), alors {R_{a}\ge R_{b}}.
Si {a_{n}\sim b_{n}} (c’est-à-dire : {\forall\, \varepsilon>0,\;\exists\, n_{0}\in\mathbb{N},\;\forall\, n\ge n_{0},\;\left|{a_{n}-b_{n}}\right|\le \varepsilon\left|b_{n}\right|}), alors {R_{a}= R_{b}}.
Proposition
Soit {(a_n)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{K}}, et soit {n\mapsto f(n)} une fonction rationnelle non nulle.
Alors les séries entières {\displaystyle\sum a_nx^n} et {\displaystyle\sum f(n)a_nx^n} ont le même rayon de convergence.

Deux cas particuliers importants

Soit {\displaystyle\sum_{n\ge0} a_nx^n} une série entière, de rayon de convergence {R}.

  • Le rayon de convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge1} na_nx^{n-1}} (dérivation terme à terme) est {R}.
  • Le rayon de convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge0} a_nx^n} et {\displaystyle\sum_{n\ge0} \dfrac{a_{n}}{n+1}x^{n+1}} (intégration terme à terme) est {R}.
  • Plus généralement, les séries entières obtenues à partir de {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} par dérivations ou par primitivations successives ont le même rayon de convergence (à suivre).
Proposition (utilisation de la règle de d’Alembert)
Soit {\displaystyle\sum a_n x^n} une série entière, et soit {R} son rayon de convergence.
On suppose {a_n\ne 0} à partir d’un certain rang {n_{0}}. On note {u_{n}=a_{n}x^{n}}, avec {x} fixé non nul.
Pour tout {n\ge n_{0}}, on a : {\;\Big|\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\Big|=\Big|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\Big|\,\left|x\right|}.
En utilisant la règle de D’Alembert, on en déduit :
si {\displaystyle\lim_{n\to\infty}\,\left|{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}\right|=\ell}, alors {R=\dfrac1\ell}
(en notant {R=+\infty} si {\ell=0}, et {R=0} si {\ell=+\infty}).
Proposition (une situation fréquente)
Soit {f} une fonction rationnelle. Alors le rayon de convergence de {\displaystyle\sum f(n) x^{n}} est égal à {1}.

Opérations sur les séries entières

Proposition (somme de deux séries entières)
Soit {\displaystyle\sum a_n x^n} et {\displaystyle\sum b_n x^n} deux séries entières de rayons de convergence {R_{a}} et {R_{b}}.
Soit {\rho} le rayon de convergence de la “série entière somme” {\displaystyle\sum(a_n+b_n)x^n}.
Si {R_{a}\ne R_{b}}, on a l’égalité {\rho=\min(R_{a},R_{b})}.
Si {R_{a}=R_{b}} {(=R)}, on a l’inégalité {\rho\ge R}.
Dans tous les cas, et si {\left|x\right|\lt \min(R_{a},R_{b})}, on a l’égalité : {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n)x^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n+\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n}
Proposition (produit de Cauchy de deux séries entières)
Soit {\displaystyle\sum a_n x^n} et {\displaystyle\sum b_n x^n} deux séries entières de rayons de convergence {R_{a}} et {R_{b}}.
Leur produit de Cauchy est, par définition, la série entière {\displaystyle\sum c_n x^n}{c_n=\displaystyle\sum_{p+q=n}a_{p}b_{q}}.
Soit {r} le rayon de convergence de la série entière {\displaystyle\sum c_n x^n}. Alors {r\ge\min(R_{a},R_{b})}.
Pour {\left|x\right|\lt \min(R_{a},R_{b})}, on a l’égalité : {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} c_n x^n=\Bigl(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\Bigr)\Bigl(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n\Bigr)}

Régularité de la somme d’une série entière

Proposition (continuité de la somme sur l’intervalle ouvert de convergence)
Soit {\displaystyle\sum a_n x^n} une série entière de la variable réelle {x}, de rayon de convergence {R>0}.
Alors la somme {x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n} est continue sur l’intervalle ouvert {]-R,R\,[}.
Ses primitives sur {]-R,R\,[} s’obtiennent par intégration terme à terme de {\displaystyle\sum a_n x^n}.
Proposition (dérivations successives terme à terme sur l'intervalle ouvert de convergence)
Soit {\displaystyle\sum a_n x^n} une série entière de la variable réelle {x}, de rayon de convergence {R>0}.
Alors la somme {x\mapsto S(x)} de cette série entière est de classe {\mathcal{C}^{+\infty}} sur {]-R,R\,[}.
Plus précisément, pour tout {p\in\mathbb{N}}, la fonction {S^{(p)}} s’obtient par {p} dérivations terme à terme.
Autrement dit, pour tout {p\in\mathbb{N}} et pour tout {x \in]-R,R\,[} :{S^{(p)}(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(n+p)!}{n!}\,a_{n+p}\,x^{n}=\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{n!}{(n-p)!}\,a_{n}\,x^{n-p}}

La proposition sur les dérivées successives d’une série enttière a deux conséquences intéressantes : la première est que les coefficients d’une série entière sont déterminés par les dérivées successives de la somme de cette série à l’origine :

Proposition (coefficients d’une série entière et dérivées successives en 0)
Soit {\displaystyle\sum a_n x^n} une série entière de la variable réelle {x}, de rayon {R>0}, de somme {x\mapsto S(x)}.
Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a l’égalité : {a_{n}=\dfrac{S^{(n)}(0)}{n!}}.

La deuxième conséquence est la possibilité d’identifier terme à terme les coefficieents de deux séries entières dont les sommes sont égales aux voisinage de l’origine.

Proposition (identification terme à terme de deux séries entières)
Soit {\displaystyle\sum a_n x^n} et {\displaystyle\sum b_n x^n} deux séries entières de rayons {R_{a}>0} et {R_{b}>0}.
Soit {r} un réel strictement positif, inférieur ou égal à {\min(R_{a},R_{b})}.
On suppose que {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_{n}x^{n}} pour tout {x} de {]-r,r[}. Alors {a_{n}=b_{n}} pour tout {n} de {\mathbb{N}}.

Parité ou imparité de la somme d’une série entière

Soit {\displaystyle\sum a_n x^n} une série entière de la variable réelle {x}, de rayon {R>0}, de somme {x\mapsto S(x)}.

La fonction {x\mapsto S(x)} est paire (resp. impaire) si et seulement si les {a_{2n+1}} (resp. les {a_{2n}}) sont nuls.

Fonctions développables en série entière

Définition (fonction développable en série entière sur -r,r)
Soit {f:I\to \mathbb{K}} une fonction définie sur un intervalle ouvert {I} contenant {0}.
Soit {r} un réel strictement positif, tel que {]-r,r[} soit inclus dans {I}.
On dit que {f} est développable en série entière sur {]-r,r[} s’il existe une série entière {\displaystyle\sum a_n x^n} (de rayon de convergence au moins égal à {r}) telle que : {\forall\, x\in]-r,r[,\; f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n}.

Considérons par exemple la fonction {f} définie sur {\mathbb{R}} par {f(x)=\dfrac1{1+x^2}}.
Pour tout {x} de {]-1,1[}, on a {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nx^{2n}}.
Ainsi {f} est développable en série entière sur {]-1,1[}.
Le rayon de convergence de cette série entière est égal à {1}. Bien sûr {f(x)} existe encore en dehors de {]-1,1[}, mais ne peut plus être représenté par cette série entière.

Définition (série de Taylor d’une fonction de classe C^∞)
Soit {f:I\to \mathbb{K}} une fonction de classe {\mathcal{C}^{+\infty}} sur un intervalle ouvert {I} contenant {0}.
On appelle série de Taylor de {f} la série entière {\displaystyle\sum \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n}.
Proposition (caractère nécessaire de la série de Taylor)
Soit {f:I\to \mathbb{K}} une fonction définie sur un intervalle ouvert {I} contenant {0}.
Si {f} est développable en série entière sur {]-r,r[},alors {f} est {\mathcal{C}^{+\infty}} sur {]-r,r[}.
La série entière égale à {f} sur {]-r,r[} est alors nécessairement la série de Taylor de {f}.
Autrement dit, on a nécessairement : {\forall\, x \in ]-r,r[,\;f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\,\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\,\,x^n}.

On peut trouver des exemples de fonctions de classe {\mathcal{C}^{+\infty}} sur un intervalle {]-r,r[}, mais qui ne sont pas développable en série entière.

Opérations sur les fonctions développables en série entière

Soit {f} et {g} deux fonctions développables en série entière sur {]-r,r[}.

  • pour tous scalaires {\alpha} et {\beta}, la fonction {\alpha f+\beta g} est développable en série entière sur {]-r,r[}.
    la fonction {fg} est développable en série entière sur {]-r,r[}.
  • les dérivées successives de {f} sont développables en série entière sur {]-r,r[}, et leur développement s’obtient par dérivations successives, terme à terme, de celui de {f}.
  • les primitives de {f} sont développables en série entière sur {]-r,r[}, et leur développement s’obtient par intégration terme à terme de celui de {f} (attention tout de même à la constante d’intégration).

Développements usuels en série entière

On donne ici les développements en série entière usuels (ceux qui sont au programme et ceux qui s’en déduisent facilement), en précisant l’intervalle {]-r,r[} sur lequel ces développements sont valables.
Rappelons qu’on ne considère ici que des développements en série entière de la variable réelle {x}.

Fonction exponentielle

Les trois développements suivants sont valables sur {\mathbb{R}} tout entier.

  • {\text{e}^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\,\dfrac{x^n}{n!}}
  • {\forall\, a>0,\quad a^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\,\dfrac{(\ln a)^{n}}{n!}\,x^n}
  • {\forall\, \omega\in\,\mathbb{C},\quad \text{e}^{\omega x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\,\dfrac{\omega^n}{n!}\,x^n}

Fonctions trigonométriques directes

Les quatre développements suivants sont valables sur {\mathbb{R}} tout entier.

  • avec les parties réelle et imaginaire de {\text{e}^{ix}} : {\cos(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\,(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}\;\text{et}\;\sin(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\,(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}
  • avec les parties paires et impaires de {\text{e}^{x}} : {\text{ch}\,(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\,\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}\;\text{et}\;\text{sh}\,(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\,\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}

Fonctions {x\mapsto\dfrac{1}{1-x}} et {x\mapsto\dfrac{1}{1+x}}

Ces deux développements sont valables sur {]-1,1[} : {\dfrac1{1-x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\,x^n\;\text{et}\;\dfrac1{1+x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\,x^n}

Fonctions {x\mapsto \ln(1-x)} et {x\mapsto \ln(1+x)}

Par primitivation terme à terme, sur {]-1,1[}: {\ln(1-x)=-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\,\dfrac{x^n}n\;\text{et}\;\ln(1+x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\,\dfrac{x^n}n}
Le développement de {x\mapsto\ln(1+x)} est encore valable en {x=1}. Ainsi : {\ln(2)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}n}

Développement de {(1+x)^\alpha}

Ce développement est valable sur {]-1,1[}: {\forall\,\alpha\in\mathbb{R},\;(1+x)^\alpha=1+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}
Deux remarques :

  • Si {\alpha} est dans {\mathbb{N}}, le développement précédent est fini (il se réduit au développement de {(1+x)^{\alpha}} par la formule du binôme), et {R=+\infty} (invoquer les séries entières semble ici un peu exagéré).
  • Si {\alpha} n’est pas un entier, on se gardera bien d’exprimer {\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)} avec des factorielles.

Page précédente : séries alternées
Retour au début : séries convergentes ou divergentes