Séries convergentes ou divergentes

Plan du chapitre "Séries numériques"

Définitions de base

Définition (sommes partielles d'une série)
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite d’éléments de {\mathbb{K}}. Soit {N} un entier naturel.
La quantité {S_N=\displaystyle\sum_{n=0}^Nu_n} est appelée somme partielle d’indice {N} de la série {\displaystyle\sum u_n}.

Avec les notations précédentes, on a {u_0=S_0} et, {\forall n\in\mathbb{N}^*, u_n=S_n-S_{n-1}}.

La suite {(u_n)_{n\ge0}} est donc à son tour déterminée par la donnée des sommes partielles {(S_n)_{n\ge0}}.

Définition (convergence ou divergence d'une série)
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{K}}.
On dit que la série {\displaystyle\sum u_n} est convergente si la suite {(S_N)} de ses sommes partielles est convergente.
Dans le cas contraire, on dit que la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} est divergente.
Définition (somme d'une série convergente)
Soit {\displaystyle\sum u_n} une série convergente.
La quantité {\displaystyle\lim_{N\to\infty}S_N} est notée {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_n} et est appelée somme de la série {\displaystyle\sum u_n}.

L’unicité de la limite implique l’unicité de la somme d’une série convergente.

Ne pas confondre “nature” et “somme” d’une série

Déterminer la nature d’une série, c’est dire si elle est convergente ou divergente.

C’est ensuite un autre problème que de calculer la somme en cas de convergence.

Parfois les deux problèmes peuvent être traités simultanément, mais l’énoncé pourra demander de prouver d’abord la convergence, puis de calculer la somme.

Enfin il est fréquent qu’on puisse prouver la convergence d’une série sans pouvoir en calculer la somme.

Influence de la modification d’un nombre fini de termes

On ne modifie pas la nature de la série {\displaystyle\sum u_n} en changeant la valeur d’un nombre fini des {u_n}.

En revanche, en cas convergence, on a toutes les chances de modifier la somme de la série.

Si la suite {(u_n)} n’est définie que pour {n\ge k}, on adapte facilement les définitions précédentes, et en cas de convergence, la somme de la série est notée {\displaystyle\sum_{n=k}^{+\infty}u_n}.

Définition (reste d'ordre N d'une série convergente)
Soit {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} une série de {\mathbb{K}}, convergente, de somme {S}. Soit {N} un entier naturel.
On appelle reste d’ordre {N} de cette série, la quantité {R_N=S-S_N=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_n-\displaystyle\sum_{n=0}^{N}u_n=\displaystyle\sum_{n=N+1}^{+\infty}u_n}

Par définition de la convergence d’une série, on a {\displaystyle\lim_{N\to\infty}R_N=0}.

Mais attention : on ne doit pas dire qu’une série est convergente {\Leftrightarrow} son reste d’indice {N} tend vers {0}, car l’existence même de ce reste suppose déjà que la série converge.

Premiers exemples

{\vartriangleright} La série {\displaystyle\sum\dfrac1{n(n+1)}}
Pour tout {n\ge1}, posons {u_{n}=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac1{n(n+1)}}.

On a {u_{n}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}} donc {S_{N}=\displaystyle\sum_{n=1}^{N}u_{n}=1-\dfrac{1}{N+1}}.

Il en résulte que {\displaystyle\sum\dfrac1{n(n+1)}} converge et que {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{n(n+1)}=1}.

{\vartriangleright} La série exponentielle

Pour tout {x\in\mathbb{R}}, on a {\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{N}\dfrac{x^{n}}{n!}=\text{e}^{x}} (utiliser la formule de Taylor avec reste intégral).

Ainsi {\displaystyle\sum\dfrac{x^n}{n!}} (dite série exponentielle) converge et sa somme est {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n!}=\text{e}^x}.

{\vartriangleright} La série harmonique

Pour tout {n\ge1}, on a {\dfrac1n\ge\displaystyle\int_{n}^{n+1}\dfrac{\,\text{d}t}{t}=\ln(n+1)-\ln(n)}.

Ainsi {S_{N}=\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac1n\ge \ln(N+1)}. Il en résulte {\displaystyle\lim_{N\to+\infty}S_{N}=+\infty}.

La série {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac1n} (dite série harmonique) est donc divergente.

{\vartriangleright} La série harmonique alternée

Pour tout {n\ge1}, on a {\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}=(-1)^{n-1}\displaystyle\int_{0}^{1}t^{n-1}\,\text{d}t}. Il en résulte :{\begin{array}{rl}S_{N}&=\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\sum_{n=1}^{N}(-t)^{n-1}\,\text{d}t\\\\&=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1-(-t)^{N}}{1+t}\,\text{d}t=\ln(2)-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{(-t)^{N}}{1+t}\,\text{d}t\end{array}}
Mais {\Big|\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{(-t)^{N}}{1+t}\,\text{d}t\Big|\le\displaystyle\int_{0}^{1}t^{N}\,\text{d}t=\dfrac{1}{N+1}}, donc {\displaystyle\lim_{N\to+\infty}S_{N}=\ln(2)}.

Ainsi la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n-1}}n} (dite série harmonique alternée) est convergente et sa somme est {\ln(2)}.

Propriétés des séries convergentes

Proposition (linéarité de la somme)
Soit {(u_n)_{n\ge0}} et {(v_n)_{n\ge0}} deux suites de {\mathbb{K}}. Soit {\lambda} et {\mu} dans {\mathbb{K}}.

Si les séries {\displaystyle\sum_{n\ge0}\,u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge0}\,v_n} sont convergentes, alors la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}\,(\lambda u_n+\mu v_n)} est convergente.
Dans ce cas, on a l’égalité {\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\,(\lambda u_n+\mu v_n)=\lambda\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\,u_n+\mu\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\,v_n}.

Si {\lambda\ne0}, les séries {\displaystyle\sum_{n\ge0}(\lambda u_n)} et {\displaystyle\sum_{n\ge0}\,u_n} sont de même nature.

Remarque importante sur les sommes de deux séries

Si {\displaystyle\sum u_n} et {\displaystyle\sum v_n} sont
de natures différentes, alors {\displaystyle\sum(u_n+v_n)} est divergente.

Il arrive que {\displaystyle\sum(u_n+v_n)} converge alors que {\displaystyle\sum u_n} et {\displaystyle\sum v_n} divergent.

On ne développe donc pas {\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\,(u_n+v_n)} sans vérifier d’abord l’existence de {\displaystyle\sum_{n=0}^\infty u_n} et {\displaystyle\sum_{n=0}^\infty v_n}.

Proposition (une condition nécessaire, mais non suffisante, de convergence)
Si {\displaystyle\sum_{n\ge0}\,u_n} converge, alors {\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n=0}. Attention la réciproque est fausse!
Si {\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n} n’existe pas ou est non nulle, la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}\,u_n} est dite grossièrement divergente.
Définition (séries géométriques)
Soit {a} un élément de {\mathbb{K}}. La série {\displaystyle\sum a^{n}} est appelée série géométrique de raison {a}.

Si {a\ne 1}, on sait que, pour tout {N} de {\mathbb{N}} : {S_{N}=\displaystyle\sum _{n=0}^{N}a^{n}=\dfrac{1-a^{N+1}}{1-a}}

Proposition (condition nécessaire et suffisante de convergence de la série géométrique)
La série géométrique {\displaystyle\sum a^{n}} est convergente si et seulement si {\left|a\right|\lt 1}.
Dans ce cas, la somme est {S=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a^n=\dfrac1{1-a}}.
Plus généralement, le reste d’indice {N} est : {R_{N}=\displaystyle\sum_{n=N+1}^\infty a^{n}=\dfrac{a^{N+1}}{1-a}}.
Proposition (lien suite-série)
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{K}}.
Alors la suite {(u_{n})} et la série {\displaystyle\sum(u_{n+1}-u_{n})} sont de même nature.
En cas de convergence, on a l’égalité : {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(u_{n+1}-u_{n})=(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_{n})-u_{0}}.

Cette propriété ramène l’étude de la nature d’une suite {(u_n)}à celle de la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}(u_{n+1}-u_n)}.
Elle permet aussi d’étudier {\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n} si on sait écrire {v_n} sous la forme {v_n=u_{n+1}-u_n}.

Proposition (convergence des séries à termes complexes)
Soit {(z_{n})_{n\ge0}} une suite de nombres complexes.
Alors {\displaystyle\sum_{n\ge0}\,{z_n}} converge si et seulement si {\displaystyle\sum_{n\ge0}\,\text{Re}(z_n)} et {\displaystyle\sum_{n\ge0}\,\text{Im}(z_n)} convergent.
En cas de convergence, on a : {\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\,{z_n}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\,\text{Re}(z_n)+i\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\,\text{Im}(z_n)}.

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