Séries alternées

Plan du chapitre "Séries numériques"
Définition (série alternée)
Soit {(u_n)} une suite de nombres réels.
On dit que la série {\displaystyle\sum u_n} est alternée si le signe de {(-1)^nu_n} est constant.

Cela signifie qu’il existe des {a_{n}\ge0} tels que : {\bigl(\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n}=(-1)^{n}a_{n}\bigr)\;\text{ou}\;\bigl(\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n}=(-1)^{n+1}a_{n}\bigr)}

Proposition (théorème spécial des séries alternées)
Soit {\displaystyle\sum u_n} une série alternée.
Si {n\mapsto\left|u_n\right|} tend vers {0} en décroissant, alors {\displaystyle\sum u_n} converge.
De plus, en notant {\;S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}} et {R_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_{k}\;}, on a :

  • Les suites {(S_{2n})_{n\ge0}} et {(S_{2n+1})_{n\ge0}} sont adjacentes.
  • Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a {\left|R_n\right|\le\left|u_{n+1}\right|} et {R_{n}} a le même signe que {u_{n+1}}.
  • La somme {S} de la série vérifie {\left|S\right|le \left|u_{0}\right|}, et {S} a le même signe que {u_{0}}.

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